Analytische Geometrie 1740—1748. Maclaurin. Euler’s Iutroductio, Band II. 789

die Curven doppelter Krümmung, deren Lehre aber nicht gesondertvorzutragen, sondern sie mit der von den Flächen zu verbinden inEuler’s Absicht liege, werden die krummen Oberflächen in ihremGegensätze zu der Ebene als solche erklärt, die es nicht gestatten,durch irgendwelche vier Punkte derselben eine Ebene zu legen. Dasdreiaxige rechtwinklige Raumcoordinatensystem der ,r, ?/, z wird ein-geführt, und es wird gezeigt, wie eine Oberfläche als Versinnlichungeiner Gleichung zwischen x, y, z zu betrachten sei. Die acht Octantendes Raumes, welche mit Bezug auf die Coordinatenaxen entstehen,werden unterschieden.

Das 2. Kapitel, Von den Schnitten der Flächen, wennEbenen durch sie gelegt werden, lehrt zunächst die Gleichungeneiniger bestimmten Flächen kennen, von denen hier nur die Kugel,die Cylinderfläche, die Kegelfläche, die Umdrehungsfläche, die Flächezweiten Grades genannt sein mögen, und zeigt dann, dass ein ebenerSchnitt gefunden wird, wenn man in die Gleichung der Flächex = t ■ cos ft -j- v ■ cos cp ■ sin ft, y = v ■ cos q> ■ cos ff — t ■ sin ft — f ,e = V'Sm<p einsetzt. Als Kegelflächen, gebildet durch eine von Aausgehende Gerade, welche sich (Fig. 130) längs des Umfangs ]\ISTsmirgend einer Curve hinbewegt, gebensich diejenigen Flächen zu erkennen,deren Gleichung in den Coordinatenx, y, z homogen ist, also z. B.z i — mzx -|- x 3 -(- y-. Jede einer derdrei Coordinatenebenen, etwa derxy- Ebene AP Q, parallele Ebenez = h schneidet die Fläche inJr = mhx -(- x 2 + y-, und dieseSchnitte sind alle einander ähnlich,sowie sie auch von dem derFläche angehörenden Coordinateu-anfangspunkte A aus in dem Ver-hältnisse ihrer Entfernung von der Ebene APQ wachsen. Auf dieparameterlose Homogenität der Gleichung einer Kegelfläche hatteauch Clairaut (S. 75(5) aufmerksam gemacht.

Das 3. Kapitel, Von den Cylinder-, Kegel- und Kugel-schnitten, wendet das im 2. Kapitel Gelehrte auf die in der Ueber-schrift genannten Flächen an und zieht insbesondere die Kegelschnittein Betracht.

Das 4. Kapitel, Von der Verwechslung der Coordinaten,enthält die Gleichungen, welche als die Euler’schen Formeln zurVeränderung von Raumcoordinaten bekannt sind. Euler gelangt

Fig. 130.