Analytische Geometrie 1748—1750. Crarner.
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handenen Gliede hat beginnen lassen, und setzt für ihn sowie fürdas letzte von y freie Glied die soeben gefundenen Werthe, so
nimmt die Curvengleichung die Gestalt an y v ~’ -f- • ■ • -|--
%-AX ): ■ : = °> welche bei j edem Werthe von * *
die zugehörigen Ordinaten y liefern muss, z. B. y = LP, y = MP,y = NP ■ ■ -, wenn x — AP gesetzt wird. Dadurch erkennt man,
dass LP MP - NP ■ ■■ = — —, und darin besteht der
in der Ueberschrift des 5. Kapitels gemeinte Satz von dem Producteder Ordinaten 1 ). Cramer verfolgt seine Bedeutung bei verschiedenenWerthen von v auch in den Füllen, in welchen die verschiedenenin dem Satze vorkommenden Gleichungswurzeln nicht sämmtlichreell sind.
Das G. Kapitel, Von den Durchmessern, Gegendurchmessernund Mittelpunkten der Curven, geht aus von dem Coefficientendes zweithöchsten Gliedes der wie im f). Kapitel nach y geordnetenCurvengleichung (ux 1 + ßx 1-1 -J- •••)y r ~ t + (cf£ ( + 1 -f- bx‘ -{-•••) •
y‘
- J +
0 .
welche auch in y’~ 1 -(- —- -— ]p ~ , ~ 1
ax‘ + ßx 1 1 + ■ • •
-J— = 0 umgeformt werden kann. Bei Annahme irgend einer Ahscisse x,
welcher v — t Ordinaten y gehören, ist
P+>
ax‘ + ßx‘ J + •
die Summe aller dieser Ordinaten, und das Gleiche lindet statt, wenn
A + 1
- bx‘ -
— =().
man die v — s Ordinaten einer Curvo i/ 5-5 -f- • , , ,
J a^+ßP-'P---
welche zur Ahscisse x gehören, negativ zu einer Summe vereinigt.Heissen die zu x = AP gehörenden Ordinaten der ersten Curve PM,Pm, Pu - -, die der zweiten Curve PN, Pn, Pv - --, so ist alsoPM + Pm + Z> + • ■ = PA' + Pn + Pv + • • •. Der Satz hatdie einfachste Gestalt, wenn t = s, d. h. wenn die beiden Curvengleichungen in ihren zwei ersten Gliedern und mithin auch in derAnzahl der in jeder derselben zu einer Ahscisse gehörenden Ordinatengenau übereinstimmeu. Dann ist (PM — PN) -j- (Pm — Pn) -f-(Py — Pv) -(-••• = A T J!/ -)- nm -j- vy -(- • • • = 0, und die gegen-seitige Lage der Punkte N und M, n und m, v und y ■ ■ ■ giebt dafürden Ausschlag, Welche Strecken positiv, welche negativ sind 2 ).Cramer beschränkt hierauf die Allgemeinheit des Satzes weiter. Ernimmt t = 0 an und y” -j- (ax -)- b)y r ~ l als die Anfangsglieder beider
') Cramer, Introduction ä l’anahjse des lignes courbes pag. 108—110.
*) Ebenda pag. 120—131.