Maximal- und Minimalaufgaben. Euler’s Methodus inveniendi. 833

grössten oder kleinsten W erth annimmt, ist die gleiche, deren Eulersich seit 1728 bediente, in der Methodus inveniendi begründet er sieaber 1 ). Jeder Ausdruck, sagt er, der ein Maximum wird, d. h. biszu einem gewissen Werthe ansteigt und dann wieder abnimmt, nähertsich dem Maximalwerte in der Weise, dass die Zunahme, beziehungs-weise die Abnahme, vor und nach dem grössten Werthe unmerklichist. In Ausnahmefällen sei freilich die Zu- und Abnahme nahe beimMaximum unendlich gross, doch dürfe man von diesen absehen. Sei

nun die Curve amnoz diejenige, für welche jZdx Maximum

(Minimum) wird. Bei einer anderen von a nach z sich erstreckenden

x i

Curve wird fZdx einen anderen Werth annehmen, der sich von demx \

vorhergehenden um so mehr unterscheidet, je mehr die Curven voneinander abwichen. Der Unterschied wird nur dann immerklich, wenndie Abweichung unendlich klein ist. Man wähle daher einen Punkt v

f 2

unendlich nahe bei n, berechne den "Werth von fZdx einmal über

die Curve amnoz und einmal über die Curve amvoz und setze beideW erthe einander gleich, beziehungsweise deren Unterschied gleich Null,so erhält man die Bedingung dafür, dass amnoz die gewünschteMaximal- oder Minimaleigenschaft besitzt, d. h. die Differentialgleichungvon amnoz. Man darf ja nicht ausser Augen lassen, dass die Aende-rung der Curve unendlichklein sein muss, es genügt also z. B. nicht,den Bogen mno unendlichklein zu wählen, die Entfernung nv mussim Verhältnisse zum Bogen mno unendlichklein sein 2 ). Der vor-

X 2

erwähnte Unterschied zwischen den beiden Werthen von jZdx wird

der Differentialwerth der Formel, valor differcntialis formulac,genannt 3 ).

Kapitel 2, Ueber die absolute Methode der Maxima undMinima zur Auffindung von Curven, wendet die am Schlüssedes 1. Kapitels gegebene Vorschrift auf bestimmte Aufgaben an,welche selbst wieder vom Allgemeinen zum Besonderen fortschreiten,indem zuerst die Gestaltung von Z im weiteren Sinne des Worteszur Bede kommt, woran einzelne Beispiele sich anschliessen. Dieerste Aufgabe ist und muss sein, die Aendcrungen zu finden, welchein einer Curve amz die einzelnen bestimmten, auf die Curve bezüg

’) Euler, Methodus inveniendi Cap. I, § 58.

5 ) Ebenda Cap. I, § C2.

*) Ebenda Cap. I, § 59.