Bestimmte Integrale. Differentialgleichungen.

853

Gliedes ähnlich gestaltete Gleichungsform ax m dx -f- byx p dx -f- cy~dx= dy und deren Integrirbarkeit, sowie einen zweiten kleinen Auf-satz 1 ) über einige besondere Differentialgleichungen. Er zeigte indiesem letzteren die Ueberführung von (ax n -\-bz r x n ~'-{-cz ir x 7t ~--\----)dx -j~ (mx”z T ~ 1 -f- nx n ~ l z ir ~ 1 -J- ox n ~ 2 z 3r ~ 1 -f- ■ ■ -)dz = Odurch z r = y in eine homogene Differentialgleichung, zeigte auchwie ebendasselbe für die Gleichung (a -\- cx - f- fy) dx -(- (b -f- ex

+ 9y)dy = 0 durch x = z 4- --—-f, y = n ■ -f- —-erzielt

werde. Er gab ohne weitere Herleitung das Integral der Gleichungdy = dx (ay -|- bx n cx n ~ l -(- ex n ~ 2 + • • •) in der Gestalt y =

•,)C-f

1) B — e

wo A, B, C ■■■ die Coefficienten der jeweils unmittelbar vorher-gehenden Glieder bedeuten.

Zwischen Goldbach’s beiden Aufsätzen steht ein solcher vonNiclaus II Bernoulli 2 ), die letzte Arbeit des im Juli 172(5 ver-storbenen geistvollen jungen Gelehrten. Ihren Hauptinhalt bildet dieIliccati’sche Gleichung und deren Integrabilitätsbedingungen, in derEinleitung aber stehen einige andere Bemerkungen, welche der Ver-gessenheit entrissen zu werden verdienen. Wir haben (S. 223—224 1von einem Aufsatze von Johann Bernoulli von 1(597 gesprochen, inwelchem ady — ypdx -f- by n qdx, wo p und q irgend welche Functionenvon x bedeuten, durch die Substitution y = mz, d. h. y gleich einemProducte zweier Functionen von x, integrirt wird. Wir haben gesagt,dass diese Methode sich bei der Integration der linearen Differentialgleichung erster Ordnunn erhalten habe. Wir hätten dort auch hervor-heben können, dass Johann Bernoulli den Uebergang jener sogenanntenBernoulli’schen Differentialgleichung in die lineare Differential-gleichung - a dv —vpdx -\-bqdx mittels der Substitution y 1 — n = v

bemerkt hat 3 ). Auf diese Dinge bezieht sich die Einleitung desAufsatzes von Niclaus II Bernoulli von 172(5. Ist eine Gleichungax m y n dx -j- bxJ'ifdx — dy gegeben, und setzt man 1 = «, so geht

uv+ 1 y n du -f-

y'Ulii = dy und nach Division durch

u p + 1 -j-

y~ n dy über. Nun sei y [

y'‘—”dit

m—p

p + 1 ' p + 1

b( 1 — n)

a{ 1— n)

also y~”dy

so entsteht dv

»f+ 1 du- 1 -

V‘~~ n du

*) Commentarii Aeadcmiae 1‘etropolitanae ad annum 17'ilj. T. I, '207—'209.! ) Ebenda I, 198—'207. 3 ) Job. Bernoulli Opera I, 175.