Bestimmte Integrale. Differentialgleichungen.

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einträchtige, da es keiner Schwierigkeit unterworfen sei, einen solchen,wenn er vorkomme, durch eine einfache Umformung zu beseitigen.Hierauf wird, da 31 vom ersten Grade ist, 11 vom zweiten Gradegewählt, d. h. 11 — x 2 + bxy -f- cpx -(- ey 2 -f- fpy -f- <ji j s gesetzt. Ist

der partielle Differentialquotient der Integral-

■sweise

function nach x (nach y) } so muss, indem wir von hier au Clairaut’s

© »©

Schreibweise durch die heutige ersetzen, —- = - - sein, oder

n ' f, r x '

11 4— — 71/ 4^ — 11 c — 4- — 0, d. h. unter Einsetzung von

cy cy cx 1 cx ’ n

muss sein: (k -f- l — bi)x 2 2 (m — ei) xy (J:c — fi 2»/) px -f-(Inn — ek — el)y 2 + (bn -(- cm — fl)py + (yk — yl + nc )p- = 0.Aus den sechs Gleichungen, welche man erhält, wenn jeder Coeflicientfür sich = 0 gesetzt wird, findet Clairaut die mit einigen Rechen-oder Druckfehlern behafteten Werthe von b, c, c, /', y ) mithin 7t, unddann ergiebt sich ihm die vollständige Differentialgleichung und derenIntegral. YY r ill man Clairaut’s Gedanken verstehen, so muss manoffenbar davon ausgehen, dass er — wenn er es auch nicht aus-drücklich ausspricht — M und N als ganze Functionen von x und ybetrachtet, die überdies unter Zuziehung des constanten Parameters pbeide homogen von der gleichen Dimension sind.

Im darauf folgenden Jahrgange hat Clairaut abermals eine Ab-handlung: Sur Integration ou in construction des cquations differentiellesdu irremicr ordre 1 ) der Oeffentlichkeit übergeben. Ihr erster Ab-schnitt stimmt in der Hauptsache mit der Arbeit von 1739 überein,deren Form nur noch klarer und durchsichtiger geworden ist. Soist z. B. der Satz von der Vertauschbarkeit der partiellen Differen-tiationsfolge in ein viel helleres Licht gesetzt. Clairaut erörtert dieSache jetzt folgendermassen, wobei wir uns wieder als einzige Aen-derung den Gebrauch der geschwungenen o zum Zeichen partiellerDifferentiation gestatten. Sei Adx-\- Bdy das vollständige Differentialeiner Function, so muss diese gefunden werden, indem man Adxausschliesslich nach x, oder Bdy ausschliesslich nach y integrirt, daserste Mal aber die Integrationsconstante durch Y bezeichnet, weil sie, nurnach x constant, y enthalten wird, und das andere Mal aus ähnlichemGrunde die Integrationsconstante durch X bezeichuet. Man hat alsojAdx + Y = JBdy -j- X. Diese Gleichung partiell nach y differen-

*) Histoire de l’Academie des Sciences de 1‘aris. Aunee 1740, pag. -293—323.

Cantor, Geschichte der Mathematik. III, 3. 55