Bestimmte Integrale. Ditt'erentialgleicliungen.

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dx == ue ac dv, dy = c r (dt -f- tdv), (Fx = ac a ° ((Fvadv 2 ), d 2 y =a v (iFt -j- 2dtdv -f- t(Fv -f- tdv 2 ). Aber wegen der Annahme dx seiconstant, musste (Fx = 0 d. h. (Fv = — adv 2 genommen werden,und so ging der Werth von <Fy in die Form über <Fy = e r (<Ft -f-2dtdv-\- \ — a'}tdv 2 ). Diese Einsetzungen erfüllen z. B. ihrenZweck bei der Gleichung ax"‘dx p = y n dy v ~ 2 d 2 y. Sie verwandelndieselbe in

ac av(»‘+p)aPdvP = d n +P~ 1)r t n ( dt-\- tdv')P~-((Ft-\-2dtdv (1 — a)tdv 2 ).Die Exponentialgrösse hebt sich durch Division weg, wennuv (m + ji) = (n + p — 1) v, d. h. a = • Mit anderen Wor-

(n-\-p — 1 )p

ten, die Einsetzung von x = e m + p , y = c vt bringt

- + 2,H,h +“^r

hervor, eine Gleichung, welche der ursprünglichen gegenüber so weitvereinfacht ist, dass v selbst nicht mehr in ihr vorkommt, sondernnur dv. Sei nun neuerdings dv — zdt oder v= Jzdt. Wir hattenoben (Fv = adv 3 erkannt, welches jetzt zu (Fv - — uz 1 dt 2 wird.Andererseits führt die Differentiation von dv = zdt zu iFv — z<Ft-\-dzdt, und da beide Werthe von cFv übereinstimmen müssen,also — az 2 dt 2 = z(Pt + dz dt sich zeigt, so ist nothwendigerweise

(Pt— — -I- - ~ n ~P (( dt 2 un d aus der Differentialgleichung

zweiter Ordnung zwischen v und t ist mittels v = jzdt eine Differen-tialgleichung erster Ordnung zwischen z und t hervorgegangen. Ista = m = n = p = 1, also xdxdy = yiPy gegeben, und vollziehtman die nothwendigen Einsetzungen auf einen Schlag, so werden sie

x = c J:dt , y = e-f zi ’t heissen müssen. Aehnlich werden gewisseandere Differentialgleichungen zweiter Ordnung behandelt. Das Ge-meinsame des Verfahrens liegt wesentlich in der Einführung einerExponentialgrösse für die eine, einer mit einer Veränderlichen ver-vielfachten Exponentialgrösse für die andere Veränderliche. ZumSchluss der Abhandlung gestattete Euler einen Ausblick auf künftigeUntersuchungen, indem er bemerkte, eine Benutzung von Exponential -grössen führe auch in zahlreichen Differentialgleichungen von höhererals der zweiten Ordnung zur Integration.

Es dauerte 16 Jahre, bis Euler seine dahin gerichteten Arbeitenherausgab und unvermuthet die Lehre von den linearen Differen-tialgleichungen beliebig hoher Ordnung als einen Gegenstanddes Nachdenkens von bisher nicht geahnter Fruchtbarkeit enthüllte.