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118 . Kapitel.

Im Stillen war Euler schon früher dahin gelangt. Wir entnehmen

einem in der Bibliothek der Stockholmer Akademie aufbewahrten undneuerdings zum Theil veröffentlichten * 1 ) Briefe Eulers an JohannBernoulli vom 15. September 1739, das Ersterer damals schon mit

der Integration der Differentialgleichung 0 = y -f- a'{ !l -(- b

(l X (l X*

Integration

vollständigen linearen Differentialgleichung mit constanten Coefficientenim Keinen war, und dass er dieselbe in Beziehung zu der algebrai-schen Gleichung 1 — -f &p 2 — cp 3 + — e/'-|-etc. = 0 zu

setzen wusste. Aus Johann Bernoulli’s Antworten 2 ) vom 9. De-cember 1739 und vom 14. April 1740 ist zu entnehmen, dass dieserEulers Methode aus dessen Andeutung nicht ganz vollständig zu errathen vermochte, sowie dass er schon vor 1700 die Integration eineranderen linearen Differentialgleichung höherer Ordnung zu vollziehen

wusste, nämlich die von 0 = y ax -f- bx- ^ -f cx 3 -f- etc.

Bernoulli versprach Euler die Mittheilung seines Verfahrens aufeinem besonderen Blatte, und auch dieses ist in Stockholm aufoe-fanden worden. Nach dem über dessen Inhalt Veröffentlichten 3 )ging Bernoulli folgendermassen zu W ege. Er vervielfachte seine

Gleichung mit x p , so dass sie zu 0 = x p u 4-ax p + 1 ^ bx p+3 <Ji!l

J 1 dx 1 dx 1

^j (I I ■ - I

+ cx p + 3 ^3 etc. wurde. Nun setzte er z ———= yffy _)_

jpP ""f - ^ ^ fi (J ji

f+i dx oc ' er axP+l = u (p + !)* — a iv + 1 )x p y- FortgesetzteDifferentiation führt zu bx p + i ^ = — 2b (p -(- 1 i 2 z -f- b (p + 1) x j Z

“I" ^ {P “I - 0 (p + -) xPt J u • s. w. Die Gleichung nimmt folglich die

Gestalt an 0 = ccx p y -f- az -f- bx — -f- cx 3 -f- etc. und erstreckt

sich zu einer um die Einheit niedrigeren Ordnung als die ursprüng-liche Gleichung. Ausserdem kommt p in u vor und kann so gewählt werden, dass a = 0 wird. Dann ist die Form der ursprüng-lichen Gleichung unter Erniedrigung ihrer Ordnung wieder vollständigvorhanden, und man kann das einmal erprobte Verfahren abermalsanwenden, so oft es nöthig ist.

*) Eneström, Sur ln deeouvertc de Vintcgrale complite des equationsdifferentielles lineaires ä coefficients constants. Jiibliotheca mathematica 1897l>ag. 43—50. s ) Corresp. muth. (Fuss) II, 28—29 und 30. *) Eneström

1. c. pag. 49 Note 1.