118. Kapitel.

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demjenigen, dessen Stellenzoiger um die Einheit grösser ist, gleichsein solle, möge man den Stellenzeiger ganzzahlig wählen oder nicht.Gehört also das Glied y zum Stellenzeiger x, das Glied y' zum Stellen-zeiger x -f- 1, so soll y' = y sein. Weil y' das ist, was aus y wird,wenn x in x -j- 1 übergeht, so muss (nach Taylors Reihe) y' — y

-}-••• sein, und in Verbindung mit

"T” l • dx ' 1 ■ 2 • dx* ' 1 • 2 • 3 • dx 3

y' — y erhalten wir 0 = —

1 ■ 2 • dx* ' l • 2 • 3 • dx

1 ■ 2 ■ dx*

1 2 • 3 • dx

Differentialgleichung des allgemeinen Gliedes der betreffenden Reihe.Sie ist von unendlich hoher Ordnung, und die ihr nach den Vor-schriften von 1748 entsprechende algebraische Gleichung wird un-

Z r- - ^*3

endlichen Grades sein, nämlich 0 = -- -f- l( -f- —, s + • • ■ = e : — 1

1 -)- —) — l n unter der Voraussetzung n = oc. Aber a n — b n

n 1

9 J. ^

ist durch a 2 — 2ab cos “-- -(- b 2 theilbar, wo 1c irgend eine ganze

Zahl bedeutet. Bedenkt man nun erstens, dass * ein Factor von

ist, und zweitens dass, wenn a

h + ä’-^' + ä

2ab cos

1 ist, iv

(« + :)(

wird, und dass wegen cos

1 + - +1 ij 1

ebensowohl 2 (l

= 4 lc 2 n 2 wird, so nimmt jener allgemeine Factor die Gestalt

41c 2 x 2 +

unabhängig

der Ermittelung der Factoren von c : — 1 nicht beachtet zu werden,und man hat als solche z enthaltende Factoren nur z selbst und

41c 2 n 2 -(- z z 2 mit ganzzahligem 7.\ Der Factor z bringt dasparticuläre Integral y — G hervor. Das aus 41c 2 zr -\- 1 z -f- z 2

entstehende particuläre Integral heisst c ” (« sin 21cxx-\- 2t cos21c7Cx).

Es geht durch >i = oc in « sin 2Ic-xx -(- 2( cos 21citx über. Das allgemeine Glied der Reihe heisst also, indem lc alle ganzzahligen Werthevon Je = 1 an annimmt und die Bedingung zu berücksichtigen ist,dass y = 1 sein muss, wenn x = 0 ist: