Bestimmte Integrale. Differentialgleichungen.

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oder convex ist. D’Alembert kommt 1 ; von diesen Annahmen ausdurch der Mechanik angehörende Betrachtungen zu einer Gleichung« - ß, welche wir in die gegenwärtig gebräuchliche Form umsetzenmüssen. Wenn D’Alembert AM = AP = s schreibt und dabei anden Bogen AM denkt, so konnte er ebenso gut die Abscisse APals namengebend betrachten und x schreiben. Alsdann ist y = cp (7, x),und die übrigen bei D’Alembert auftretenden Buchstaben bedeuten:

cy

i i== dt>z-

dydx’

g*,/

dt- ’

c y

dt ■ CXSS

, ß

dhydx- ’

und die erwähnte

Differentialgleichung a — ß heisst = unterscheidet sich also

n o i ^ ct~ *

nur durch das

dx-

von der heute gewöhnlichen Schreibart . = tr ..

° cV cx*

Fehlen des positiven Coefficienten tr. Wenn y, mithin eine Strecke,zu der Strecke x und zugleich zur Zeit t in einem Abhängigkeits-verhältnisse steht, so wird die dariu enthaltene begriffliche Schwierig-keit dadurch gehoben, dass auch die Zeit durch eine Strecke versinn-licht wird 2 ). Sei a der ltaum, welcher von einem unter dem Einflüssedes Gewichtes p stehenden Körpers in einer Zeit 0 durchlaufen wird,und lässt man 0 durch eine an sich beliebig lange Strecke dar-stellen, so muss auch jedes t als Strecke gezeichnet werden. Nachder oben erläuterten, den einzelnen Buchstaben beigelegten Bedeutungist dp = udt -f- vdx, dq = vdt -(- ßdx = vdt -|- adx, mithindp dq = (« -(- v) (dt + dx) und dp — dq = (« — v) (dt — dx).D’Alembert zieht daraus den Schluss 3 ), u -f- v müsse eine Functionvon t-\-x, k — v eine Function von t — x sein. Er begründet ihnnicht näher, meint aber offenbar, nur wenn die in seinem Schlüsseausgesprochenen Abhängigkeiten .stattfinden, sei eine Integration derbeiden Differentialgleichungen ausführbar. Dann folgt aber weiterbei Vollziehung der Integration, dass p -f- q eine Function von t -j- xund p — q eine Function von t — x sein muss, etwa p + q = <p (t + %),

p — q = A 1 1 — x ), p =

(f{t. -

■a:)4- A(t-2

-*)

a =

qp (t -f - x) — A (t ■— X)

Ferner soll y=f (pdt -|- qdx) sein, oder y = -i- jcp(t -f- x)d{t %)-f- y j Ä (t — a;) d (t + x) = Y (t- + x) + r (t — x ), wo V und V

zunächst ganz unbestimmte Functionalzeichen sind. Der Natur derAufgabe innewohnende Bedingungen lehren Einiges über sie. Beit = 0 ist die Ruhelage noch nicht gestört, mithin y = 0. Ebensoist y = 0 in den beiden Befestigungspunkten der Saite, bei x = 0und bei x = l. Man weiss also:

B Ilistoire de VAcademie de Berlin. Anuee 1747. T. III, 216. 2 ) Ebenda

T. III, 215—216. 3 ) Ebenda T. III, 216.

Cantor, Geschichte der Mathematik. III, 3. 5G