Bestimmte Integrale. Differentialgleichungen.

+ WM = QB = t + x nebst QN— Q,j = NP — NF = QJ=t — x.Wegen der Gleichung der erzeugenden Curve ist demnach 1> ]) = '[’ (7-|-a;),JE = V (t — x) und V (l + x) — ff (t — x ) = BI) — JE = CI) — DE.

T

OQ G .7

r xa

Fig. 146.

Wird diese Differenz als Gy gezeichnet, so ist y der Ort, nach welchem

der Punkt G der Saite in einer Schwingung gelangt. D’Alerabertnennt nun adt den Weg, welchen jeder Punkt der Saite im erstenAugenblicke der Bewegung (also bei / = 0) zurückzulegen das Be

streben hat. Alsdann ist = o , V (x) -j- '!' (— x)

=Jßdx. Ferner war V (£) — ff (— x) = U . Mithin ist ff (a 1 ) =

ßdx- f- Const., und rückwärts ist die Anfangsgeschwindigkeit a jedes

. dV (x)

Punktes der Saite proportional % , d. h. proportional den Differenzen

dx

von Ordinaten der erzeugenden Curve, getheilt durch die Differenzen derzugehörigen Abscissen. Ganz frei ist aber die Wahl der betreffendenFunction ff (x) nicht. Diese muss den Gesetzen gehorchen, welchein Bezug auf Gradheit und Ungradheit der Functionen im erstenAufsatze bekannt geworden waren. Dabei verändern sich, wenn alsAnfangslage der Saite nicht eine Gerade, sondern eine Curve an-genommen wird, die Functionalbedingungen so sehr, dass in diesemFalle ff (x) als eine ungrade Function erscheint 1 ), und unter ihrerVoraussetzung werden betreffende Functionen zn ermitteln gesucht.

Die Behauptung D’Alembert’s von den die freie Wahl von ff (x)hemmenden Beschränkungen sollte einen Streitpunkt zwischen ihmund Euler bilden. Man kann, sagte Euler in einer im nächstfolgendenBande der Veröffentlichungen der Berliner Academie abgedrucktenAbhandlung Sur la Vibration des cordes-) eine Saite von gegebenerLänge, gegebenem Gewichte und gegebener Spannung in irgend einevon der graden Gestalt nur unendlich wenig abweichende, sonst aber

*) Jlistoire de VAcademie de Berlin. Aunee 1747. T. III, -230—231.*) Klienda Aunee 1748. T. IV, 09—85.