Bestimmte Integrale. Differentialgleichungen.
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kleinen Weite der Schwingungen die Am an /> selbst als geradlinigeAxe gedacht werden, um welche sich die zweite Toncurve schlängelt,und so entsteht die CurveApaqB, welche den beidengemeinschaftlich vernehm-baren Tönen entspricht,und welche zugleich denBedingungen der Symme-trie und der Periodicitätgenügt, welche für solcheCurven gefordert werden müssen. Aehnlich verhält es sich, wennnoch mehr Töne gleichzeitig vernommen werden. Die allgemeinste
Gleichung der Curve ist y = a sin a ß sin -j- psin -)-•••,
also genau dieselbe Gleichungsform, welche Euler 1748 erhalten hatte 1 ).Bernoulli knüpfte an diese synthetische und geometrische Behandlungder Aufgabe auch noch analytische Betrachtungen, über welche wirebenso hinweggehen, wie über den ganzen zweiten Aufsatz, dessenHauptinhalt dahin zusammengefasst worden ist 2 ), dass Daniel Bernoulliin ihm die Schwingungen eines masselosen gespannten Fadens unter-suchte, der in einzelnen Punkten mit endlichen Massen beschwert ist,und dabei zeigte, dass die Schwingungen desselben stets in eine derZahl der beschwerten Punkte gleiche Anzahl von solchen Schwingungenzerlegt werden kann, deren jede für alle Massen gleich lange dauert.
An den zweiten Aufsatz Daniel Bernoulli’s schliesst im Druckeunmittelbar eine letzte von uns zu berücksichtigende AbhandlungEuler’s an: Remarques sur les memoires de Daniel Bernoulli 3 ). Eulerdrückt seine Bewunderung über Bernoulli’s theils physikalische, tlieilsgeometrisch combinirende Auffassung der Aufgabe aus und würde ihreinen weit höheren Rang zuweisen, als D’Alembert’s und seine eigenenBemühungen beanspruchen dürften, wenn Bernoulli’s Auflösung inder That die allgemeine wäre, was aber von der Gleichung y — ic sin ~-f- ß sin ----1- y sin ’ ' ■—(- • • • nicht behauptet werden könne. Denke
man sich etwa die Coefficienten ce, ß, y ■ ■ ■ als eine unendliche geo-metrische Reihe bildend, so könne die rechts vom Gleichheitszeichen
stehende Reihe summirt werden, und man gelange zur Gleichung
. nxc sm —
y = - -— • Letztere sei unbedingt viel durchsichtiger als die
1 — n cos —a
Fig. 1-47.
1) Histoire de l’Acadcmie de Berlin. Armee 1753. T. IX, 157. s ) Rie-
mann 1. c. ®) Histoire de l’Acadcmie de Berlin. Armee 1753. T. IX, 196—'iCC