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Abschnitt XXIV.

dun«; benutzt werden. Euler sucht nämlich eine lineare Kombi-nation dieser Gleichungen so zu finden, daß die rechte Seite in einProdukt übergeht, um dann die von ihm so oft mit Erfolg 1 ) be-nutzte Schlußweise anwenden zu können. Eine solche ist, wie d’Alem-bert gezeigt hat, dx + idy.

Hierdurch ergibt sich:

dx 4- idy = (p + ir) (du — idt cos «).

Euler setzt nun:

s = lg (■i5 u + ; z = lg s — it,

so daß:

dz = — + idt = - idt.

s cos u

Es ist dann also:

dx + idy = (j> + ir) cos u dz,

und wenn die Integration ausführbar sein soll, muß (p + ir) ■ cos uFunktion von z, nach ausgeführter Integration also auch x + iy eineFunktion von z sein, die mit 2 r(z) bezeichnet wird, so daß:

r'(z) = (p + ir) ■ cos u

ist. Dann ist also:

x + iy = 2T(z ) = 2T(lg s - it),woraus sofort folgt:

x — iy = 2 F(lg s’ + it).

Hiernach sind also:

x = r(lg s — it) + r(lg s + it),iy = r (!g S — it) — r(lg s + it)

die Gleichungen, welche die allgemeinste winkeltreue Ab-bildung definieren, x und y sind dabei stets reell. Die Gleichungenlassen sich noch etwas umformen, indem s an Stelle von z eingeführtwird vermöge der Gleichung

e“ ! = s a (cos at — i sin ut),

wo « eine beliebige Konstante bedeutet. Die Funktion jT von z gehtnatürlich hierbei auch in andere Funktion von s über, die mit A be-zeichnet wird. Man erhält so:

' x = A[s"(cos ut — i sin at)) + A[s“(cos ut + i sin ut)),

iy = A[s“(cos ut — i sin «t)] — A[s“(cos ut + i sin ut)).

Das ist, wie Euler bemerkt, die allgemeinste Lösung der Aufgabe,eine Kugel so auf die Ebene abzubilden, daß die kleinsten Teile(figurae valde exiguae) ihren Bildern ähnlich werden. Wir möchten

*) Vgl. S. 551, 552, 555.