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einmal gesagt 1 ); daß der Begriff der Beriihruugsebene auch bei derAnwendung nützlich sei, wird an zwei Beispielen gezeigt, von denener das eine aus der Malerei, das andere aus der Gewölbekonstruktionentlehnt. Dann wendet er sich zu der Konstruktion von Berührung*-ebenen an zylindrischen, konischen und Rotationsflächen mit vertikalvorausgesetzter Achse; von den Tangentenebenen der Regelflächenhandelt der III. Anhang zur 1. Auflage. Es folgt dann die Bestim-mung der kleinsten Entfernung zweier schiefen Geraden, welcheMonge durch die Berührungsebene eines Kreiszylinders ausführt; dieAusführung einer elementaren Konstruktion dieser Entfernung wirddem Leser als Übung überlassen.
Der Verfasser wendet sich dann zur Bestimmung von Berührungs-ebenen, deren Berührungspunkt nicht gegeben ist. Die erste Aufgabedieser Art versucht die Ebenen zu finden, welche durch eine gegebeneGerade gehen und eine gegebene Kugelfläche berühren; Monge gibtzwei Auflösungen: 1. durch Umlegung der Ebene, welche senkrechtzur Geraden ist und durch den Kugelmittelpunkt geht, oder 2. durchBetrachtung des Kegels, welcher diese Kugel von einem Punktjener Geraden aus projiziert. Mit dieser zweiten Auflösung wird dieDarlegung der Haivpteigenschaften der Polaren in bezug auf Kreise,Kegelschnitte und Quadriflächen verbunden 2 ). Auf das obige Problemkönnen diejenigen zurückgeführt werden, welche darin bestehen,durch einen Punkt die Ebene zu ziehen, welche entweder zwei Kugel-flächen oder drei Kugelflächen berührt. An das letztere knüpftMonge die Darlegung der charakteristischen Eigenschaften der Ahu-lichkeitspunkte von Kreisen 3 ) oder Kugeln 4 ) an. Die Bestimmungder Ebenen, welche durch einen Punkt gehen und einen Kegel oderZylinder berühren, ist der Zweck der zwei folgenden Aufgaben, wäh-rend der inhaltsreiche Abschnitt mit der Konstruktion der durcheine gegebene Gerade gehenden Berührungsebenen einer Rotationsfläche mit Yertikalachse schließt. Diese Aufgabe wird von Mongewie noch heute, durch Benutzung der Fläche aufgelöst, die durchDrehung der gegebenen Geraden um die Achse der Fläche er-zeugt wird.
') Der erste Versuch, die Existenz der Berührungsebene geometrisch zu be-
weisen, findet sich bei C. Dupin, „Developpements de geometrie“ iParis 1813 1 , p. 7.
! ) Vgl. E. Kötter, „Die Entwicklung der synthetischen Geometrie“; Bd. Vdes Jahresber. der Deutsch . Math.-Ver., S. 48, 88 und 112. s ) Nach N. Fuß(Nova Acta Petrop., T. XIV, 1805) wurde Monge von d’Alembert inspiriert.
4 ) In den diesbezüglichen Sätzen findet man einige Unrichtigkeiten, da Mongedie Ebenen nicht betrachtete, von denen jede zwei innere und vier äußere Ähn-lichkeitspunkte enthält.