ÜBER DAS RECIPROCITÄTSGESETZ 1 ).

[Gelesen in der Akademie der Wissenschaften am 22. Juni 1876.]

§ 1 .

Es seien r und s beliebige positive oder negative ganze Zahlen; l, mund n seien ungrade und y = + 1, d = + l, e = + 1 seien deren Vorzeichen,so dass yl, dm und sn positiv werden. Setzt man nun nach Eisenstein ’scherWeise allgemein:

. %rk7t8m-

.. . ,

w

n

so ist zuvörderst zu bemerken, dass das Product, ohne dass sein Werth ge-ändert wird, auch auf irgend welche \{sn —l) Zahlen Je erstreckt werdenkann, welche so zu sagen „ein halbes Restensystem“ mod. n bilden, d. h.auf \{sn — l) solche Zahlen k, deren absolut kleinste Reste mod. n ihrenpositiven Werthen nach die sämmtlichen unter liegenden Zahlen ergeben.Das durch die Gleichung (21) definirte Zeichen hat nun folgende Eigen-schaften:

I. Das Zeichen hat den Werth 0 oder +1; und zwar hat es denWerth Null, wenn r und n einen gemeinsamen Theiler haben, da alsdann

’) Diese Abhandlung schliesst sich an die in derselben Sitzung der Akademie vorgelegte Notizvon E. Schering an: „Verallgemeinerung des ßausskehen Criterium für den quadratischen Rest-Charactereiner Zahl in Bezug auf eine andere“, und wird im Original durch die Worte eingeleitet:

„Herr Kronecker knüpfte hieran die folgende Mittheilung: Im Verlaufe der an der hiesigenUniversität im Wintersemester 1869/70 gehaltenen Vorträge bin ich auch meinerseits auf die vonHrn. Schering gefundene Ausdehnung des Gauss 'sehen Lemmas geführt worden, und ich benutze dieheutige Gelegenheit, um die bezüglichen Entwickelungen hier vollständig darzulegen.“ H.