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ÜBER BILINEARE FORMEN MIT VIER VARIABELN.

in den Grenzfällen aber, wo A = ^ (B — C) oder B = \(B — C) oderB—C = 0 ist, nur die erste und letzte der 4 Formen unter die Reprä-sentanten der verschiedenen Classen bilinearer Formen aufzunehmen. DieAnzahl der Classen wird hiernach gleich der doppelten Anzahl der durch dieBedingungen:

(33) AB + BC= A, A^\(B — C)> 0, B^\(B—C)>§

und der durch die Bedingungen:

(33') AD + BC—A, A>\{B -C)^ 0, B > \ (B — C) ^ 0

bestimmten Systeme. Denn die den Ungleichheitsbedingungen:

A>\(B — <7)>0, B>%(B - C)> 0

genügenden Zahlensysteme kommen in den beiden Arten jener Systemevor, diejenigen aber, für welche einer der Grenzfälle A = \ (B — G) oderI) = \{B — G) oder B — (7=0 eintritt, sind nur in einer jener beidenArten inbegritfen. Dabei ist zu bemerken, dass nicht zwei dieser Grenz-fälle zugleich eintreten können. Denn da AD> 0 ist, kann nicht eine derbeiden Zahlen A, B gleich \{B — C) und B—C = 0 sein; ferner kannauch nicht:

A = B = i (B — C)

sein, weil dieser Fall — der übrigens nur eintreten könnte, wenn AB -f BG,d. h. also der Werth von A ein vollständiges Quadrat ist — wie schon obenbemerkt worden, durch die Bedingung:

AB>\{B-C)*

ausgeschlossen wird.

Den Bedingungen (iß) ist hiernach noch die Ungleichheitsbedingung:

A - B + C + B > 0