Vierecke theilen

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Wird nun eh die Theilungslinie, so ist A dec um A ehe größer alsmP 2 ; ist aber eg die Theilungslinie, so ist A dec um A ege zu klein;wenn man demnach die Perpendikularen gl und hm auf ec senkrecht ziehetund annimmt, daß beide einander gleich wären, so benenne man diese glei-chen Linien durch y, so ist:

A ege — A ehe = ec . y;

für ec den vorhin gefundenen Werth gesetzt, ist:

A ege — A ehe =: Y [y* + (d — x) 2 — 2 (d — x) y. cos. d] . y.

Es soll nun der zur Rechten der Theilungslinie liegende Theil mk 2 seyn,so ist entweder

mP 2 — A dec (I,

oder raP* — A dec -J- A ege.

Setzt man wiederum statt der Dreiecke ihre oben gefundenen Werthe,so erhält man: _

mP 2 = $ (3 — x) y . sin, d ^y" [y 2 + (8 — x) 2 — 2(d— x)y.cos.d] .y,

. .. . , 2 mP 2 — (3 — x) y . sin. d

'st dah» J = T [y 2 +(ä- x ) 2 (d - x) y. cos. ' d ''

Anmerkung. __

In der Gleichung ist das doppelte Zeichen + nicht mit angemerket, weilei sich von selbst zeigt, ob y positiv oder negativ wird, je nachdem der abschnei-dende Theil kleiner oder größer ist als A dec; wenn y negativ wird, soerhält diese Linie die Lage mh, wird y positiv, so bekommt sie die Richtungvon gl. Ist der abzuschneidende Theil dem A dec gleich, so ist y — c.

Auch gilt die Gleichung für y so lange, als die Theilungslinie nichtdie Seiten ha schneidet, wenn dieses eintritt, so muß der links von derTheilungslinie liegende Theil — (1 — m) P a bestimmt werden. Dieserhalbsuche man den Inhalt des A abe und fälle den Perpendikel ho, so zeigtsich in dem rechtwinklichen Dreiecke hoa

1 : sin. a =r ha ; bo= a : ho

und demnach bo = « , sin. a.

Da NUN A bae = \ ae . bo

— ^ x . « . sin. a,

so suche man nur die Linie he und schließe:'he* — bo 2 -s- oe*

— bo 2 + (ae — ao) 2 (II.

und setze dann 1 : cos. a — ab : ao

— a : ao;

demnach ao — « . cos. a.

Werden nun die für bo und ao entwickelten Werthe in die GleichungII gesetzt, so erhält man:

be 2 = « 2 sin. a 2 -J- (x — a . cos. a) 2

— « 2 ein. a 2 -s-> x 2 — 2 « x . cos. a -s- « 2 . cos, a*;weil nun aber sin. a* + cos. a 2 = t,

so ist be 2 — « 2 -s- x 2 — 2 « x - cos aund be = Y («’ + x 2 — 2 « x . cos.. a,).

Würde die Lage des Punktes o nicht zwischen a und e seyn, sondernzwischen e und d, so würde hoch nur dasselbe Resultat für be sich er,geben.

Nimmt man ferner wiederum an, daß die Dreiecke bke und bge, vonvenen jedoch nur eines gebraucht wird, gleich sind, so ziehe man die Per-pendikularen fk und ig und benenne sie mit dem allgemeinen Namen z, so>st der links der Theilungslinie liegende Theil — (1 — m) P 1 und entweder

(l,— m) P* = A bao oder (1 — m) P*= A bao ^■jT^Tge} 5