X 4

DISSERTATIO 1.

Demonftratio.

Maffae M, m vel funt commenfurabiles, vel incommenfurabiles (z.§.).Primo cafu necefiario extabit numeras integer r vel fradtus —, pro quo

fit HI= tnr velMs=:m— ( 6 .%.): igitur erit etiam D = dr, vel D“d —n n

(30. §.), hinc utroque cafu D:d—

Sint jam maffae M, m incommensurabiles; neceffe eft, ut pro quolibetutcunque magno numero integro n extet alter numerus integer r, pro quo

fiat M >m-~ etM< m 1 (12. §.). Quare, 'cum pro M — m-jj- vel M

m - - neceffario fieret D — d — vel 0 — d (30. debebit

n n n ^ y

effe pro iisdem numeris D>d-^- etD< d - (26. §.), hinc D : d

p=M : m (22. §.). •

35. Theorema.

Denfitates D, d duorum corporum aequabiliter denforunt, eandem maffaequantitatem fub diverfis voluminibus V, v continentium , funt in ratione in-verfa voluminum , /eu eji D:d=v:V.

Demonftratio.

Volumina V, v commenfurabilia poliunt effe, vel incommensurabi-lia (3. §.). Cafu primo dabitur certus numerus integer n vel fra&us ,

pro quo fit V—v n vel V=v-^- (6. §.), quo fiat v:=V-^vel \~V

1 r

confequenter erit reciproce D = d — velD:=:d— (32. §.), et ideoutroque cafu D:d = v:V.

Quodfi vero volumina V, v fint incommensurabilia debebit, pro quolibet,

utcunque magno, numero integro n extare alter numerus integer r, quo

f r " 4 “ 1 r r j_x

fiat V>v — et V<v—-—(i 2 .§.) : cumigiturpro V:=v — vel V:=v

deberet effe reciproce d c=:_D ~ vel d —D (32 §.), erit re ipfa

Et d <I) (;r. §.), hinc d:D^V:vper (22. -§.)•

36, Co-