XIV

Die Differenzen

A-ml B 1 ■ ■ ■ A mn — B n

sind dann einzeln dem absoluten Betrage nach beziehlich kleiner als

<$' 6 '

2>»-i y* 2 m_1

Die Grössen g sind sämmtlich endlich also auch ihre Summe, welche mit g bezeichnet werden möge.

Dann ist der erste Theil der Differenz ?/ m — u dem absoluten Betrage nach kleiner als -f r ö' .

2 m

Es möge nun m so gross angenommen werden, dass dieser Ausdruck sich kleiner als die beliebigkleine aber fest angenommene Grösse <?', ergibt. Dann ist gezeigt, dass für alle Werthe von s, welche dem

absoluten Betrage nach gleich oder kleiner als o\ sind, der absolute Betrag der Differenz w m _ u kleiner

ist als <5', + <5' 2 .

Die Grösse o x wird nun durch folgende Betrachtungen bestimmt.

Man denke sich die Linie C construirt, deren Punkte u den Punkten u der Linie C durch die Gleichung

u

u

Dp

entsprechen, wo

<5

wie oben für

t YT

gesetzt ist.

Die Linie C liegt dann ganz im Innern der

Figur U , und hat mit der Begrenzung C\ derselben keinen Punkt gemein. Bei der Abbildung der Figur U\durch die Funktion s\ (u\) wird es daher unter allen Werthen von s\ für die Werthe u\ = welche derLinie C angehören, einen geben, dessen absoluter Betrag ein Maximum ist. Es sei nun «, kleiner als 1angenommen, aber grösser als dieser Maximalwerth, welcher kleiner ist als 1. Dieser Maximalwerth stimmtüberein mit dem Maximum des absoluten Betrages der Funktion s t , wenn das Argument w, auf dasInnere und die Begrenzung der Figur V beschränkt wird.

Wenn nun die Grösse s, den Kreis beschreibt, der um den Punkt s = o mit dem Radius <J ibeschrieben ist, so wird die betreffende Curve, welche u\ beschreibt, ganz zwischen C' und C\ liegen.

Für alle diese Werthe u — u\ sind die Werthe der absoluten Beträge der Funktionen

Si, s 3 , • • s m kleiner als

also werden die Curven, welche die aus der Umkehrung der für s,, s«, • • s m gefundenen Reihen zuerhaltenden Grössen w,, « 2 , • • w m beschreiben, wenn die Grössen s, = s 2 = • • — den Kreis mit demRadius ^ beschreiben, beziehlich ganz zwischen den Curven C,, C 2 • • C m und der Curve C’ liegen.

Nun ist aber bewiesen, dass unter der angegebenen Voraussetzung die Differenz u m — u stets kleinerist als die beliebig klein anzunehmende Grösse 6 \ +

Hieraus folgt, dass die Linie, welche

u — B, s -j- ßo s 2 “l - ‘ '

beschreibt, während s den um den Punkt s — o mit dem Radius a x beschriebenen Kreis durchläuft, mallen ihren Punkten der Linie C näher liegt als

3 e s ( ! + 2=0 + + S ' 2 '

Hiermit ist dargethan, dass die Summe der für die Grösse u gefundenen Reihe sich einer endlichenGrenze nähert, wenn der absolute Betrag von s sich der Einheit nähert, und dass das Gebiet aller Werthevon u, welche für die dem absoluten Betrage nach die Einheit nicht überschreitenden Werthe von s durchdie gefundene Reihe dargestellt werden, die ursprünglich gegebene Figur U ist.