fl
I.elirsatz VIII.*)
Vhj. 7 a.
Zieht man aus einer Ecke A eines Dreiecks ABC die Mittellinie AMund eine zweite Gerade AN so, dass / BAN — / CAM, so verhalten sich diedurch die letztere auf der Grundlinie BO erzeugten Abschnitte wie die Qua-drate der anliegenden Dreieckseiten, d. h. es ist
BN : CN = AB 2 : AC 2
Beweis I. (L)
Man verlängere AM, mache EM = AM und verbinde E mit B und 0, wodurchdas Parallelogramm ABEO entsteht. Ferner verlängere man AN bis zum Schnittpunkt Dmit BE und ziehe NG, DF || AB, so ist
A ABI) :
A ABN = AD : AN
0)
A ACE :
: A ACN = CE : GN
= FD : GN
= AD : AN
(2)
Aus (1)
und (2) folgt
A ABD :
A ABN = A ACE : A ACN
oder
A ABD :
A ACE = A ABN : A ACN
(3)
Nun ist
aber A ABD
A ACE, somit
A ABD :
A ACE = AB 2 : AC 2
(4)
Da ferner
A ABN :
A ACN = BN : CN
(• r >)
so erhält man aus (4) und (5) wegen (3)
BN : CN = AB 2 : AC 2
Beweis II.
Da die Dreiecke ABN und ACM einen Winkel gleich haben, so verhält sich
A ABN : A ACM == AB . AN : AC. AM (1)
aber auch A ABN : A ACM = BN : CM (2)^
Aus (1) und (2) ergiebt sich nun die Delation
AB . AN : AC. AM = BN : CM (3)
Ebenso ist, da die Dreiecke ABM und ACN einen Winkel gleich haben,
A ABM : A ACN AB .AM : AC. AN (4)
aber auch A ABM : A ACN = BM : CN (5)
Aus (4) und (5) folgt dann:
AB. AM : AC. AN = BM : CN (6)
Durch Multiplikation der Proportionen (3) und (6) erhält man, weil BM = CM ist:AB 2 : AC 2 = BN : CN
*) Man vergleiche diesen Lehrsatz mit Lehrsatz I in Adams: „Die merkwürdigsten Eigenschaftendes geradlinigen Dreiecks“, Winterthur , Steiner’sclie Buchhandlung, 1846.
2