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Aus (1) und (2) resultirt

EM 8 = MG.MO

womit der erste Theil des Satzes bewiesen ist.Es ist ferner

Bog. AG

also

und daher /\ AUE cofolglich

/ AUE =

(AEGl

|afg/

C AGE und AHE ac ^ AEG,

oder

fAE\ _ IAEI\AF/ ■" |AF(

{£!»} = A(! • AH

womit auch der zweite Theil des Satzes bewiesen ist.

I.ehrKatx XIX.

Fig. 15, a, b, c.

Wenn an einem Dreieck ABC ein berührender Kreis M beschriebenist und man zwei Berührungspunkte D E mit dem dritten F durch die GeradenDF, EF verbindet, so wird jede Gerade CH, welche durch die F gegenüber-liegende Ecke C des Dreiecks geht, durch DF, EF und die Grundlinie ABharmonisch geschnitten, d. h. es ist

CK : KH = CL : HLBeweis.

Es schneide die Transversale CII die Basis AB in II, EF in K und DF in L.Nun ist nach Lehrsatz VIL in Bezug auf die gleichschenkligen Dreiecke AEF und BDF,deren Grundlinien EF, DF von CII geschnitten werden:

CE : IIF = CK : KIICD : HF = CL : I1L

Da aber CE — CD, so folgt aus diesen Propoi’tionen:

CK : KH = CL : HL

liclirsat« XX. (L)

Fig. 16, a, b.

Wenn man an einem Dreieck ABC einen berührenden Kreis beschreibt,durch zwei Tangirungspunkte E, F eine Gerade legt und im dritten Berührungs-punkt D. die Senkrechte DS auf die zugehörige Dreieckseite BC errichtet,welche EF im Punkte 0 schneidet, und wenn man endlich durch 0 und dieI) gegenüberliegende Ecke A des Dreiecks eine Gerade zieht, so schneidetdiese die Basis BC in der Mitte M.

Beweis.

Man lege durch 0 (resp. 0', 0“, 0'“) eine Parallele zu BC, welche die Seiten

AB, AC in Y, W (resp. V', W'; V“, W"; V'", W'") schneidet und ziehe aus dem

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