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Beweis.

Die Centrale AS schneide die Peripherie des eingeschriebenen Kreises S in denPunkten m, n; dann ist

mQ . nQ = KQ 2

Man hat aber auch niQ . nQ = DQ . PQ = PQ . SQ

und somit ist KQ 2 = PQ . SQ

d. h. PKS ist ein Rechter oder KP Tangente an den Kreis S im Punkte K.

Auf ähnliche Weise kann bewiesen werden, dass K'Q Tangente an den Kreis S'im Punkte K' ist.

Lehrsatz XXVIII.

Fig. 21, a, b, c.

Wenn an einem Dreieck ABC ein berührender Kreis beschrieben ist,so verhalten sich die Quadrate der Abstände seines Mittelpunktes S von denbeiden Endpunkten B, C einer Seite BC wie die Rechtecke aus den anstossendenSeiten AB, AC und den Abschnitten BD, CD, welche durch den Berührungs-punkt D auf BC gebildet werden, d. h. es ist

BS 2 : CS 2 = AB . BD : AC. CD

Beweis.

Man ziehe AS und beschreibe über AS als Durchmesser einen Kreis, so wirddieser dem Kreis S in den Berührungspunkten E, F begegnen. Er schneide ferner BSin G und CS in H und man ziehe AG, AH. Auf der Verlängerung von AS oder aufAS selbst liegt der Mittelpunkt K eines zweiten berührenden Kreises, den man mit Bund C verbinde. Nun sind die Dreiecke BKS und AGS rechtwinklig und ähnlich, daher

KS : AS = BS : GS (1)

Ebenso sind die rechtwinkligen Dreiecke CKS und AHS ähnlich, folglich

KS : AS = CS : HS (2)

Aus (1) uud (2) ergiebt sich

BS : GS = CS : HS

also auch BS : (BS ± GS) = CS : (CS ± HS)

oder BS : BG = CS : CH

Hieraus folgt nun BS 2 : BS . BG = CS 2 : CS . CII (3)

Da aber in Bezug auf den Hülfskreis

BS . BG = BA . BFCS . CH = CA . CE

und überdies BF == BD, CE = CD, so erhält man aus (3):

BS 2 : AB . BD = CS 2 : AC . CD

oder BS 2 : CS 2 = AB . BD : AC. CD

Ebenso ist AS 2 : BS 2 = AC . AF : BC . BF

und CS 2 : AS 2 = BC . CE : AB . AE