EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 71
Troisièmement: lorsque les racines cherchées sont imaginaires,ce même emploi des séries récurrentes peut-il encore avoir lieu , etcomment en déduira-t-on les valeurs de plus en plus approchéesde la partie réelle de chaque racine et de la partie imaginaire?
• Je vais rapporter maintenant la solution des trois questions pré-cédentes : cet exposé suffira pour faire connaître clairement l’objetet les résultats du sixième livre.
Lorsqu’on applique la série de Daniel Bernoulli à une équationdont la première racine est réelle, la suite des quotients convergevers la valeur de cette racine, et les erreurs finales des approxima-tions diminuent comme les termes d’une progression géométriquedont la racine est une fraction. Cette fraction est le rapport de laseconde racine à la première, comme on le reconnaît au premierexamen. Si la première racine et la seconde ont des signes diffé-rents, condition qu’il est toujours facile d’obtenir, les valeurs ap-prochées sont alternativement trop grandes et trop petites. Ainsiles chiffres communs à deux valeurs consécutives appartiennentnécessairement à la racine cherchée. Cette propriété ne se rencontrepoint dans les approximations newtoniennes.
Les a pplieations très-remarquables qu’Euler a faites de la méthodedes séries récurrentes prouvent quelle est utile dans un grandnombre de cas; mais la marche du calcul ne nous paraît pas en gé-néral assez rapide. Ce n’est donc point sous ce rapport que nousconsidérons ici les propriétés des séries récurrentes. Le caractèreprincipal que nous avons en vue, et qui distingue cette méthode detoutes les autres ,'est quelle n’exige aucune connaissance antérieure,et il résulte de nos recherches que le même procédé détermine lesparties, soit réelles, soit imaginaires de toutes les racines. Cette con-séquence paraît en quelque sorte indiquée dans l’ouvrage de Daniel Bernoulli , et surtout dans celui d’Euler , mais elle exigeait la solu-tion complète de la seconde et de la troisième question. Voici enquoi consiste cette solution.
Concevons que l’on ait formé la série récurrente primitive quidérive immédiatement des coefficients de la proposée, et de pre-
io.