SÉPARATION DES RACINES. q 5

Cela posé, si l’on procède à la formation des suites en allant degauche à droite, il est évident que l’application de la règle précé-dente introduit dans la suite supérieure des changements de signesqui deviennent autant de permanences dans la suite inférieure, iétant le nombre des fonctions évanouissantes, on trouve que lasuite supérieure contient un pareil nombre i de changements designes remplacés dans la suite inferieure par autant de permanen-ces. Il faut remarquer aussi que dans ces deux suites les signes cor-respondants sont alternativement differents ou semblables. Ils sontdifférents pour les fonctions dont le rang est indiqué par f {n \y( n -a) y(»-4)^y( n -6)^ e f C . j et ils sont les mêmes pour les fonctionsdont le rang est indiqué paretc. Enfin les fonc-tions qui deviennent nulles, et dont le nombre est i, sont suiviesd’une fonction non évanouissante f^Hsc) : la substitution de adans cette fonction donne le même signe pour les trois suites, etce signe peut être + ou —.

Il est facile de connaître maintenant combien la suite supérieurea perdu de changements de signe, remplacés par autant de perma-nences dans la suite inférieure. Eu effet si i est un nombre pair,le signe de la dernière fonction évanouissante y>-■-+-')( a ) est lemême dans les suites inférieure et supérieure : il donne par consé-quent dans l’une et l’autre la même combinaison de signes avec lafonction extrême non évanouissante, qui est / ( “ _,) («). Donc la suiteinférieure a perdu dans ce cas un nombre i de changements designe remplacés par des permanences.

Mais si le nombre i est impair, ce cas se subdivise en deux autres;parce que le signe de la dernière fonction évanouissanten’étant pas le même pour les suites supérieure et inférieure, il enrésulte que ces signes différents forment deux combinaisons con-traires avec le signe decommun aux deux suites. Si cellede ces combinaisons qui se trouve dans la suite supérieure est unchangement de signes, elle répond à une permanence dans la suiteinférieure : donc le nombre de changements de signes que la suitesupérieure a perdus n’est pas i: il est z+ i. Mais si la combinaison

i3.