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des fluxions, qui est Y arithmétique universelle 1des infinis , exécute tout cela d’une maniérébeaucoup plus prompte 8c plus commode,indépendamment d’une infinité d’autreschoses auxquelles la premiere ne sauroitatteindre. V, Fluxions , Calcul , &c.

Sur F arithmétique des incommensurableseu irrationnels, voy. Incommensurable,Irrationnel, &c.

Jean de Sacrobosco ou Halifax composaen 1131 , selon Woíïïus , un traité ^arith-métique ; mais ce traité a toujours restémanuscrit : &, selon M. l’abbé de Gua,Paciolo qui a donné le premier livre d’al-gebre, est auíïì le premier auteur à‘arith-métique qui ait été imprimé. V. Algèbre.(E)

Jusqu’ici nous nous sommes contentésd’exposer en abrégé ce que l’on trouve àpeu près dans la plupart des ouvragesmathématiques fur la science des nombres,Sc nous n’avons guere fait que traduireFarticle arithmétique tel qu’il se trouve dansl’encyclopédie angloise : tâchons présente-ment d’entrer davantage dans les principesde cette science, 8c d’en donner une idéeplus précise.

Nous remarquerons d’abord que toutnombre, suivant la définition de M. Newton,n’eft proprement qu’un rapport. Pour en-tendre ceci, il faut remarquer que toutegrandeur qu’on compare à une autre , estou plus petite, ou plus grande , ou égale ;qu’ainfi toute grandeur a un certain rapportavec une autre à laquelle on la compare,c’est-à-dire quelle y est contenue ou lacontient d’une certaine maniéré. Ce rapportou cette maniéré de contenir ou d’êtrecontenu , est ce qu’on appelle nombre ;ainsi le nombre 3 exprime le rapport d’unegrandeur à une autre plus petite, que l’onprend pour l’unité , & que la plus grandecontient trois fois : au contraire la fractions exprime le rapport d’une certaine grandeurà -une plus grande que l’on prend pour l’uni-té, & qui est contenue trois fois dans cetteplus grande. Tout cela fera exposé plus endétail aux articles Nombre , Fraction , &c.

Les nombres étant des rapports apper-çus par l’esprit 8c distingués par des lignesparticuliers, Xarithmétique , qui est la science«es nombres, est donc Fart de combiner

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entr’eux ces rapports, en se servant pourfaire cette combinaison des signes mêmesqui les distinguent. De-là les quatre princi-pales réglés de Xarithmétique , car les diffé-rentes combinaisons qu’on peut faire desrapports, se réduisent ou à examiner l’excèsdes uns fur les autres, ou la maniéré dont ilsse contiennent. L’addition & la soustractionont le premier objet,puisqu il ne s’agit que d’yajouter ou d’y soustraire des rapports ; le se-cond objet est celui de la multiplication 8c dela division, puisqu’on y détermine de quellemaniéré un rapport en contient un autre.Tout cela sera expliqué plus en détail auxarticles Multiplication & Division.

Il y a, comme l’on fait, deux lottesde rapports , l’arithmétique 8c le géomé-trique. V. Rapport. Les nombres ne fontproprement que des rapports géométriques ;mais il semble que dans les deux premieresréglés de Xarithmétique , on considéré arith-métiquement ces rapports, 8c que dans lesdeux autres on les considéré géométrique-ment, Dans l’addition de deux nombres( car toute addition se réduit proprement àcelle de deux nombres ), l’un des deuxnombres représente l’excès de la somme lurl’autre nombre. Dans la multiplication l’undes deux nombres est le rapport géométriquedu produit à l’autre nombre. V. Somme ,Produit.

A l’égard du détail des opérations parti-culières de Xarithmétique , il dépend de laforme 8c de Finstitution des signes par les-quels on désigne les nombres. Notre arith-métique , qui n’a que dix chiffres, seroit fortdifférente si elle en avoit plus ou moins ;8c les Romains qui a voient des chiffres diffé-rens de ceux dont nous nous servons ,dévoient aussi avoir des réglés d ‘arithméti-que toutes différentes des nôtres ; mais toutearithmétique se réduira toujours aux quatreréglés dont nous parlons, parce que de quel-que maniéré qu’on désigne ou qu’on écriveles rapports, on ne peut jamais les combinerque de quatre façons , 8c même, à propre-ment parler , de deux maniérés seulement,dont chacune peut être envisagée sous deuxfaces différentes.

On pourroit dire encore que toutes lejréglés de Xarithmétique se réduisent ou àformer un tout par la réunion de différentes