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Nous ignorons si les anciens ont connucette science : il y a pourtant bien de í’ap-parence qu’ils avoient quelque moyen sem-blable pour résoudre au moins les questionsnumériques ; par exemple, les questions quiont été appelìées quefiions de Diophante.Voye[ Diophante ; voye ç auffì Applica-tion de l’analyse à la géométrie.

Selon M. l’abbé de Gua , dans son excel-lente kijloirc de Valgèbre , dont on trouvé laplus grande partie à Vart, Algèbre de cedictionnaire, Théon paroît avoir cru quePlaton est l’inventeur de l’analyse ; & Pappusnous apprend que Diophante Sc d’autres au-teurs anciens s'y étoient principalement ap-pliqués , comme Euclyde , Apollonius ,Aristée , Eratosthene, Sc Pappus lui-même.Mais nous ignorons en quoi consistoit préci-sément leur analyse, & en quoi elle pouvoitdifférer de la nôtre ou lui ressembler. M. deMalezieu , dans ses élémens-dc géométrie ,prétend qu il est moralement impossiblequ Archimede soit arrivé à la plupart de sesbelles découvertes géométriques, fans le se-cours de quelque chose ^équivalent à notreanalyse : mais tout cela n’est qu une con-jecture ; Sc il seroit bien singulier qu il n’enrestât pas au moins quelque vestige dans quel-qu’un des ouvrages des anciens géomètres.M. de l’EIôpital, ou plutôt M. de Fontenelle,qui est fauteur de la préface des infinimentpetits , observe qu’il y a apparence que M.Pasca-1 est arrivé à force de tête & sans ana-lyse , aux belles découvertes qui composentson traité de la roulette , imprimé sous le nomd ’Etonvìlle. Pourquoi n’en seroit-il pas demême d’Archimede Sc des anciens ?

Nous n’avons encore parlé que de l’usagede l’algebre pour la résolution des questionsnumériques : mais ce que nous venons dedire de l’analyse des anciens, nous conduitnaturellement à parler de l’usage de l’algebredans la géométrie : cet usage consiste prin-cipalement à résoudre les problèmes géomé-triques par l’algebre, comme on résout lesproblèmes numériques, c’est-à-dire à don-ner des noms algébriques aux lignes connuesSc inconnues ; Sc après avoir énoncé la ques-tion algébriquement, à calculer de la mêmemaniéré que si on résolvoit un problème nu-mérique. Ce qu’on appelle en algèbre équa-tion d’une courbe , n’est qu’un problème géo-

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métrique indéterminé , dont tous les pointade la courbe donnent la solution ; & ainsidu reste. Dans l’application de l’algebre à lagéométrie , les lignes connues ou donnéesfont représentées par des lettres de l’alpha-bet , comme les nombres connus ou donnésdans les questions numériques : mais il fautobserver que les lettres qui représentent deslignes dans la solution d’un problème géo-métrique , ne pourroient pas toujours êtreexprimées par des nombres. Je suppose, parexemple, que dans la solution d’un problè-me de géométrie , on ait deux lignes con-nues, dont l’une que j’appellerai a soit le côtéd’un quarté, &l’autre que je nommerai b soitla diagonale de ce même quarté; je dis quesi on assigne une valeur numérique à a , ilfera impossible d’aísigner une valeur numé-rique à b , parce que la diagonale d’un quartéSc son côté sont incommensurables. Voye^Incommensurable , Diagonale , Hypq-thenuse , &c. Ainsi les calculs algébriquesappliqués à la géométrie ont un avantage ,en ce que les caractères qui expriment leslignes données peuvent marquer des quan-tités commensurables ou incommensurables ;au lieu que dans les problèmes numériques,les caractères qui représentent les nombresdonnés ne peuvent représenter que des nom-bres commensurables. Il est vrai que le nom-bre inconnu qu’on cherche, peut être repré-senté par une expression algébrique qui dé-signe un incommensurable : mais alors c’cstune marque que ce nombre inconnu & cher-ché n’existe point, que la question ne peutêtre résolue qu’à peu près, Sc non exacte-ment ; au lieu que dans l’application de l’al-gebre à la géométrie , on peut toujours assi-gner par une construction géométrique lagrandeur exacte de la ligne inconnue, quandmême l’expreísion qui désigne cette ligneseroit incommensurable. On peut même sou-vent assigner la valeur de cette ligne, quoi-qu’on ne puisse pas en donner l’expressio»algébrique , soit commensurable , soit in-commensurable : c’est ce qui arrive dans 1ccas irréductible du troisième degré. Voye çCas irréductible.

Un des plus grands avantages qu on atirés de l’application de l’algebre à la géomé-trie , est le calcul différentiel ; on en trouveral’idée au mot Différentiel , avec une

notion