A P p

jamais. On adonne plusieurs méthodes d'Ap-proximation ; mais toutes ces méthodes leréduisent à une fuite infinie convergente ,c’est-à-dire, qui s’approche toujours plus dela quantité cherchée conformément à la na-ture des fuites. Voici une formule généralepour extraire toutes les racines quelconques 1 ,ou , ce qui revient au même , pour elever unbinôme ou un trinôme; en un mot, un po-linome à une puistànce indéterminée. Carextraire la racine d'une puillance m, c’estélever une quantité donnée à une puistànce

m. Pour avoir la racine cubique de a 3 -fr3 aab~+ $abb-*b 3 , il suffit d’élever unequantité à la puissance -j , pour a 1 -+ i a b-fr b 1 à la puissance 5 , &c.

Soit donc p -fr a: le binôme qu’on veut éle-ver à la puilsance m. Cette quantité p -fr x m

sera ------fr m p”’—“'x , —fr m -fr m 1

x 1

pm - 1 x ', Hh m m — 1 — 1 p m —» x s —fr m

í ;

m - r m——1 ra—— 3 m .-- 4 —4. Rr c

X -X - X-- P x ’ KCl

r 5 4

Où l’on voit 1 °. Que la premiere quantitépa m pour exposant dans le premier terme

m -i ; dans le second m -1 ; dans le

troisième m -3 ; dans le quatrième m -4 ;

dans le cinquième, Sec. a". Que la deuxiè-me quantité .r est à la premiere puistàncedans le second terme, à la deuxième dansle troisième , à la troisième dans le quatriè-me , Sec. 3 0 . Que le coefficient du premierterme est 1 ; celui du second m ; celui dutroisième m r f - 1 ; celui du quatrième

77! X "

m •

celui du cinquième"— Sec.

r ; 4

Cette formule sert pour extraire toutes lesracines en général. Si l’on souhaite, parexemple la racine cubique de a? —>3 aab -+

5 ab b - b 3 ; on supposera a’ e =p , $aab-ï

labb -é s *=A.- Se m *= j-. Substituant les

valeurs dans la formule générale, on aura

n' —fr y a - : X- 3 aab-’r 3 ab b -

b 3 ■= a - b , racine cherchée. Dans cette

racine l’on ne trouve que deux termes ; parceque l’expolant de p au second rerm e($aab)“■ o , Se que les termes où a Se b fe trou-vent , doivent être rejettés. Quand il ne s’a-git que des quartés parfaits, on n’a besoindans cette formule que des deux termesp m —fr m pm — ^x: mais dans les racinessourdes ou irrationelles, on fait usage desautres ; & on peut par leur moïen continuer1 extraction à l’infini. C’est-là ce qu’on ap-pelle Approximation. On connoît qu’uneracine est irrationnelle , lorsque m exposant

A P U 39

de/>, ne fe trouve dans aucun terme ----- p*.

. Piété , est le premier qui a trouvé la racined’une équation par Approximation, c’est-à-dire , la racine qui découvre la valeur de laquantitéinconnueauffi proche que l’on veut.Sa méthode est décrire dans son Traité Denumerosa poujlatum , qu’on trouve parmises Oeuures de Mathématiques, page 1 6 5. M.Oqanam a rendu cette méthode claire parquelques exemples dans fes Nouveaux Eli-mens d'Algèbre, Liv. II. chap. 8. Vallis ,Raphfon, Isard, Halley, Bernoulli Sc T^olf,ont donné différentes méthodes à'Approxi-mation , parmi lesquelles fe distingue sur-tout celle de M. Newton , qu’il a publiéedans son Anali/ìs per quantitatum fériés ,page 8 , Se que Wallis rapporte encore au 94Chapitre de son Algèbre vol. II. O per. Ma-them. p. 3 8 r. Se Guinée dans son Applicationde P Algèbre à la Géométrie. On estime enco-re X A nalifis Equationum universalis de Jo-seph Raphfon , Se principalement la méthodede M. Halley, qu’on trouve dans les Tran-sactions Philosophiques n”, zio, page 136.V 9 Ïe{ auffi Miscellanea Curiofa, Vol. II.Lond. 1700. Philosoph. TranJ'aR. Vol.I. Scl ’Atialys finit, de Vûse.

Dans l’extraction des racines en nombre,on a recours aux fractions décimales , aveclesquelles on approche tan t qu’on veut de la ra-cine cherchée. V. FRACTION DECIMALE.

APS

APSIDES. Points qui déterminent dans l’or-bite d’une planète son aphélie Se son péri-hélie. La ligne des Apsides est une ligne tiréede l’aphelie au périhélie. M, Bernoulli a saitvoir que les Apsides , ou autrement, que legrand axe des orbites miptiques des planèteschange de position par rapport aux étoilesfixes. M. Newton savoir déja pensé. Vote?APHELIE.

A P U

APUI. On appelle ainsi dans la statique unpoint fixe Se inébranlable, capable de résisteraux plus grands efforts. Ce pointa lieu dansle treuil & dans le lévier,oùil est appellequelquefois hypomoclion. Suivant que lepoint d’Apui on Xhypomoclion est placé , euégard à la puistànce, on distingue le lévier.Voïei LEVIER.

Lorsque les directions des puistànces ap-pliquées à un levier font parallèles , Se par-tagées par le point d’Apui , ce point est char-gé du plus grand poids posiìble. Au contrai-re , la direction étant toujours parallèle , siXApui est à une de fes extrémités, fa chargefera la moindre qu’il est possible. La charge