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férencier , on diminuel’exposant d’unc unité;on multiplie la quantité ainsi diminuée parson exposant entier; le tout encore multipliépar la caractéristique d, qui est multipliéeelle-même par la racine de cette quamtité.Donc pour intégrer, on doit augmenter T expo-sant £um unités diviser ensuite par l'expo-sant ains augmenté de Vunité , & multipliépar la différentielle. Ce qui résulte de cetteopération est l ’Intégrale demandée.

On propose à intégrer la différentielle3 x * d x. La réglé veut d’abord qu’on aug-mente l’exposant i d’une unité; ( }x* dx)qu’on divise ensuite par son exposant ainsiaugmenté d’une unité, & multiplié par ladifférentielle. Cette seconde opération donne

-—r— = x 1 intégrale demandée.

3 d x °

Rendons l’exemple plus général. Soit pro-posée la différentielle x m — ' dx, qui peutreprésenter toutes les différentielles quelcon-ques. L’exposant m étant augmenté d’uneunité, on a x m —i-+ « dx = x m d x. Divi-sant par i d x , toujours conformément à laréglé , reste x m .

Cette réglé est très-bonne pour les diffé-rentielles qui ne font point élevées à unepuissance quelconque. Le Lecteur voir bienquelle est î’inverse de la premiere déja don-née pour le Calcul Différentiel ; ôc qu a celle-là succédant une seconde toute différente ,pour différencier des quantités simples multi-pliées j telles que x y , x iy , &c. il doit yavoir nécessairement pour le Calcul Intégralaine réglé, précisément l’inverse de cette der-niere. Et cette réglé est celle-ci • A la placede chaque Différentielle on subfiitue la quan-tité variable & après avoir ajouté tous lestermes , on divise par le nombre des termes.

Je ne parle point des différentielles divi-sées. On peut les faire revenir dans les cassimples à la multiplication , comme on y faitvenir les différentielles. Pour les autres il n’ya point de réglé générais, suivant que cettefraction est formée, on a recours aux séries,ou si l’on peut,à la formule des binômes.( VóUg_ BINOME. ) Je ne dois pas oublier,en finissant, qu’on intégre une fuite de dif-férentielles séparément, ôc chaque différen-tielle l’une après l’autre, lorsqu’elles ne ren-ferment aucune grandeur élevée à une puis-sance , & que tous les termes n’ont qu’unefeule variable , qui soit élevée à une puissancequelconque.

On intégre ainsi toutes les différentielles ,pourvu que les différentielles à intégrer soientintégrables. Quand elles ne le font pas, lemal n’est pas bien grand. On ne fauroit fairel’impossible ; Sc la différentielle peut être nom-

C A L

mee alors une Différenciée fausse , comme unnombre dont il n’est pas possible d’extrare laracine, est appellé un Nombre sourd. Cepen-dant on couronne un pareil nombrçd’un si-gne radical, pourexprimer fa racine. On faitdonc précéder la différentielle par un grandS, & on enferme entre deux parenthèses, ouon surligne la différentielle non Intégrable ,pour marquer quelle est Intégrée.

Cela suppose qu’on est assuré que la diffé-rentielle n’est point Intégrable. Eh ! comments’en assurer? Si l’on avoir fait cette questionà Newton & à Leibniti , ils auroient étéfort embarrassés ; Se il n’y a pas bien long-tems qu’on l’étoit encore. Grâces à l’illustreM. Clairaut , on ne va plus à tâtons pour ré-soudre ce problcme. Un Théorème en faitl’affaire. Ce que ce Géomètre y établit est :Qu une quantité compose de confiantes & devariables étant dijférentiée , la quantité de laconfiante , en ne supposant qu une variable ,£ ou l'on ôte télément, efi égale à la différen-tielle d'une autre confiante prise , en ne suppo-sant seulement qu une variable, & aiant ótccomme auparavant! élément de celle-ci.

De sorte que si A<At-f-B</j représentela différentielle d’une quantité quelconque »

Ô A d B.on aura ——dy d x

Il est aisé de former de-là une régie pourdécouvrir si une différentielle est Intégrable.Elle ne l’est que lorsqu’après avoir fait varierseulement une variable du premier membre,ôc en aiant ôté l’élément, c’est-à-dire , le d xpour ce membre , on trouve qu’elle est égaleà la différentielle de l’autre membre, en re-tranchant l’élément qu’il renferme , qui estici d y.

• Il est bon Sc même nécessaire d’avertir icique la réglé précédente n’a pour objet queles équations différentielles à deux variables.Pour celles qui font à trois, on a recours àune autre méthode toujours fondée fur 1cThéorème précédent. On commence, selonM. Clairaut, à s’assûrer si l’équation dans le-tat où elle est, ne feroit point la différen-tielle exacte de quelque autre équation à troisvariables, en faisant usage du Théorème. Etau cas que les trois équations qui résultentde ces trois variables, ne se trouvent pasvraies à la fois, la quantité qui en est fotmee ,ne fera pas une différentielle exacte.

Le meme Géomètre, dont nous analysonsles principes, ( M. Clairaut, ) enseigne en-core dans le même Ecrit, par le mofen d’unnouveau Théorème, comment on trouve unFacteur, qui rend une équation Intégrable , enmultipliant tous ses termes .(Mémoires de IA-cadémie, 1740.J Au reste, je ne dois pas taire