, C U B

Quelle est la solidité de ce corps, quel qu’ilsoit ? Pour résoudre ce problème, on tire uneordonnée P M à tel point que l’on veut del’axe, à côté de celle-ci une autre ordonnéep m infiniment proche , & la ligne M q ; defaçon que le parallelograme P M , qp, ne dif-féré pas du trapèze P M m p , afin qu’onpuiíle prendre le cilindre formé par le pa-rallelograme pendant que la figure A Ni Qfc meut autour de ion axe A Q, pour l’élé-ment de la portion d u solide , formé par lacirconvolution de la portion A M P de cettefigure plane. En concevant la solidité decette portion comme composée d’un nombreinfini de cilindre;, chacun d’une hauteur in-finiment petite , l’incégrale de cet élémentfera égal à ía lolidité. II faut donc trouvercette intégrale -, Si la solidité est connue. Oron trouve ainsi cette intégrale.

Nommant A P, .r, P Ns,jy,& exprimant lerapport du raton à la circonférence par r _>

f

la circonférence du cercle décrit par le ratonP M íera donc 5 c f_y* exprimera Paire

r t r

de ce cercle. On multiplie cette aire par Pp(dx) , pour avoir P_y 1 dx égale à la>so-

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lidité du cilindre P M qp, óu , ce qui estla même chose , à l’éléntent de la portion dusolide. Cet élément connu , il est très-aiséde savoir la lolidité entiere du corps. A cettefin , on substitue sa valeur prise dans lc-quation de la courbe A M N, 5 c on a uneexpression d’une feule quantité inconnue*,dont l’intégrale exprime la solidité cherchée.

CUBE. Nombre. C’est le produit, qui se formeen multipliant deux fois un nombre donnépar lui-m'ême, ou autrement en multipliantun quarté par fa racine. Si l’on multiplie ;par lui-même, on aura y, qui est le quartéde 3 , & si l’on multiplie p par fa racine ;on aura 17 , qui est le Cube de 3. On peuttrouver les nombres cubiques par l’additionsimple des nombres impairs, tels qu’ils sesuivent dans leur ordre naturel. Ainsi 1 est1 cCube d’r. En y ajoutant les deux nombresimpairs suivans 3 & 5 , la somme 8 estle Cube de 1. Si à ces nombres on ajoute lestrois nombres suivans 7, 9, & 11 , on aura27 qui est le Cube de 5. Ajoutant les quatresuivans 13, 1 y, 1 7, & 19 on aura 64 , Cubede 4 : ainsi des autres , &c.

I,

1,1, Cube d’i est 1

21

»5

rs

f

M

r;

î

9

17

17

5

11

19

19

somme 8

Cube de 2 27 Cube de 3

64 Cube de 4

>1;

Cube de 5 , 5 c e.

Il faut avouer que cette maniéré de trou-ver le Cube d’un nombre est admirable. Cen’est pas encore tour. Lorsque le nombrequarté est connu, il est aisé de trouver le Cubede ce nombre d’une autre façon ; 5 c cela enajoutant au nombre cubique précédent troisfois le quarté de íâ racine , deux fois la ra-cine, & une fois la racine en question.

Quand on s’est rendu familière la natured’un nombre Cube , on parvient fans peine àl'extraction de fa racine. Pour donner à cettefin une formule générale, j’exprimerai unnombre Cube par des lettres. Le Cube dea b est a 3 -+- 3 a a b - 4 - 3 ab b -t- b : . CeCube peut exprimer tous les Cubes dont onveut extraire la racine. Or pour extraire la,racine de celui-ci on commence à séparerd’abord les chifres qui forment le nombredonné, de 5 en 3 en commençant de, droiteá gauche ; parce que tous les nombres quifont au-destous de 100 , ont une racine cu-bique exprimée par un seul chifre ; & quefous ceux qui font au-destus en ont une ex-primée par demi ou plusieurs phifrcs, Aïanc

le Cube 12. | 812 | 904 | ainsi divisé , 1 °. Onextrait de la premiere tranche le plus grandCube contenu dans 12, qui est 8. 2 0 . Lenombre 48 1 2 qui reste de cette division, fedivise par $aa-k-$ab-\-bb, c’est-à-dir©par 12 = 3 aa, pour avoir 3 = b‘, car sil’on prenoir 4, la soustraction ne pourroitpasfe faire. z". On ajoute donc à 12 le nombre18 ( = 1 ab) 5 c le nombre 9 = b b , entelle forte que 9 se trouve sous le chifre 9 »comme 011 le volt dans la premiere colonnede Pexemple ci-après. 4". On multiplie leDiviseur 1389 par le quotient 3 , & la sous-traction faite , on a un second reste 645904.Ce reste est encore représenté par 3 a ab-k-- 4 - 3 ab &c 2 3 par a. On doit donc ( $°. ) di-viser ce reste par 1387 =3 aa pour avoir4=ict parce que si l’on prenoit 3 ou 6 lasoustraction seroit impossible. 6°. De 1587,176 (=.3 a b ) 5 c j 6 ( — b b ) on fait un©autre somme, toujours de maniéré que ledernier chifre 6 fe trouve lous le dernier Di-viseur 4. Après quoi , multipliant le Divi-visçur 161476 , par le quotient 4, on souf-

1 i n