L I E

ífagít de ffòuver en dedans d’un parallelo- 'grame AB DE, (Planche VI. Figure 41.)le point C par lequel les lignes FI I, K L ,parallèles aux côtés du paraílelograme don-nent d’autres parallelogrames A L C H ,K DIC, HCKE & C I B L , qui fontproportionnels entre eux ; car on satisfait auproblème de quelque côté qu’on prenne cepoint.

Voila toutes les définitions Sc les distinc-tions du mot Lieu. En voici la théorie.

> Supposons deux lignes droites A P , P M( Planche VI. Figure 42. ) inconnues & in-déterminées , qui faste n t l’une avec l’autreun angle quelconque A P M. Appelions .rJe commencement A P de l’une de ces lignes, dont le point A est fixe , Sc que laligne A P s’étende indéfiniment le long d’uneligne droite donnée de position. Appelionsy l’aurre ligne P M , que nous supposeronschanger continuellement de position étanttoujours parallèle à elle-même. En ce cas ,si l'on a une équation , dans laquelle les deuxinconnues x , y , qui expriment le rapportde la ligne A P ( x ) à fa correspondante P M(y) soient mêlées avec des quantités connues,cette ligne , qui paste par les extrémités detoutes les valeurs dey , c’est-à-dire , par les !points M , s’appelle en général un Lieu géo-métrique , & en particulier Lieu de l'équa-tion proposée. Rendons ceci plus sensible parun exemple,

. bx

Que l équation y = —■ exprime tou-

a

•jours le rapport de A P (x) àPM (y),qui font l’un avec l’autre un angle quelcon-que. Dans la ligne A P prenons A B —^Sc du point B tirons BE=A parallèlementà P M , Sc du même côté. Cela fait, la li-gne indéfinie AE s’appelle en général unLieu géométrique , & en particulier le Lieu

de Véquation y —. Car si l’on tire laa

ligne droite M P parallèle à B E, les trian-gles semblables A B E , APM donneronttoujours cette proportion : A B ( a ) : B E

( b ) : ; A P ( .v ) : P M ( y ) = ~. C’est

a

pourquoi la ligne droite A E est le Lieude tous les points M.

Si y y = a a — x x exprime le rapportde AP à P M (Planche Ví. Figure 43.)6 c que l’angle A P M soit droit, alors lacirconférence d’un cercle, dont le ratonest la ligne droite A B = a, prise dans laligne A P , est appelíée en général un Lieugéométrique , Sç en particulier l^isu 4 s l'équa-

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tion y y :=ss (t a — x x. Pour le prouver,on abbaiífe la perpendiculaire M P = y ,& on a par la nature du cercle P M* (y y)= DP x P B ( a a — xx), en supposantque B D est le diamètre du cercle. D’oùl’onconclud, que la circonférence d’un cercleest le Lieu de tous les points M.

3. Après avoir supposé que toutes les lignesP M , qui tendent du côté Q font positi-ves; supposons qu’elles aillent du côté op-posé à ce point, elles deviendront alorsnégatives. Ainsi l’on aura P M = — y. Pa-reillement , si l’on suppose que le point Pest pris en allant de A vers B , Sc qu’on leprenne ensuite en sens contraire en allantde A vers D, tous les points pris du côtéde D seront négatifs. On aura donc A P =

— x. Or comme un Lieu géométrique doitpaste r par les extrémités de toutes les va-leurs » Sc positives Sc négatives, de l’une desinconnues y , qui répondent aux valeurstant positives que négatives de l’autre in-connue x, la ligne droite Q A G étant pa-rallèle à P M , on trouvera un Lieu géomé-trique dans les quatre angles , ou feulementdans quelques uns de ces angles, commedansla figure 43. Cela se démontre ainsi.

Que A P = x ; P M = y Sc que lepoint M soit pris dans le quart de cercleQ B. Si l’on prend ensuite ce même point Mdans le quart de cercle G B , on aura AP=s-H x, Sc P M =—• y. Est-il pris fur DGîon aura AP = x &P M = — y.Enfin,sil’onprend ce point M fur le quart D Q, A P feraégal — x & P M =_y. Dans tous ces cas ,l’on aura toujours par la nature du cercle, lamême équation yy=aa — x x. La rai-son de cela est que les quartés 7+ y Sc yt-xsont les mêmes dans tous les cas, c'est-à-dire , qu’ils donnent toujours .y y Sc x x.

De plus si l’on fait dans la figure 41A P = x , P M = y , Sc que l'on prolon-ge A E de l’autre côté de A, dans sangleGAD , l’on aura AP = —x Sc P M =a

— y. Mais puisque les triangles ABE,APM font semblables, on aura la propor-tion suivante AB (a) : HE ( b) : : AP:

(— x ) : P M ( —y )- Ainsi —y = -

a

b x . . h ,

Donc y= — sttu elt la t"cme équation

qu’on auroit trouvée d’abord en supposantque le point M tombe dans l’angle B A Q.

4. On distingue les Lieux en difterens dé-grés. Sous le premier , on comprend tous lesLieux où les quantités inconnues xy n’ont

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