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S I N

z.

A cette fin , Sc pour en faciliterl’ufage, ona supposé le raïon A C diviléen 10000000on en plusieurs parties , & on a calculé com-bien de ces parties a le Sinus de chaque de-gré du quart de cercle, Sc pour chaque mi-nute de chaque dégré, même de te en iosecondes , dont on a construit desTables.

On trouve à ce suiet de beaux théorèmesdans les Ouvrages de Pitìjcus Sc de JeanNewton. M. Benjamin Urjìn donne dans saTrigonométrie , Liv, 11 . Ch. V . pag. 164 , lamaniéré de trouver par le Sinus d’une mi-nute tous les autres Sinus. M. Oranam ,dans son Cours de Mathématique , Tom. II.Trigon. Liv.I. Ch. I.Prop. II. en donne unepour connoître le Sinus d’une minute.MM. Leibnit{ Sc Newton ont découvert dessuites infinies par lesquelles on peut trouverle Sinus pour chaque arc donné fans savoircelui des autres. On lit dans les Lettres deNewton , imprimées dans les Œuvres deWallis Tom . III. la maniéré de s’en servir,Sc dans les Elementa Analyjis infinitorum deM. Wolf celle de les déterminer. Les autresSavans qui ont travaillé fur cette, matière ,font MM. JeanBernoulli Sc Herman. Le pre-mier a donné dans les Acles de Leipjìc uneréglé générale pour trouver du Sinus de Parcsimple celui du multiple , du double , parexemple, du triple , &c. Et le second a dé-montré cette réglé. Enfin , un Anonyme apublic dans le Journal Littéraire du moisde Septembre & Octobre 1714,un nouveaumoïen de se servir des Tables des Sinus ,fans qu’il soit néceíïàire de multiplier ou dediviser.

Voici quelques problèmes fur les Sinus

3 ui peuvent former la théorie de ces fortese lignes.

Problème I. Le Sinus S R ( Planche III.Figure 609. ) d'un arc S A étant donne [ jele nomme a ] trouver le finus SH i/í soncomplément S B [ que nous nommerons x. ]Solution. La lettre r représentant le Sinus

tota l on aura CS [ r r ] = S R [aa ]- 4 -C R [**] parce que C R = S H. Donc

r r — a a = x x. Donc x = r r —a a.

Problème II. Le Sinus S R [ a ] d'un arcétant donné , trouver An ( même plancheSc même figure) [x] Sinus de la moitié dumême arc A Q.

Solution. Par le premier problème C A[t] — C R [ V *r r — a a ] = R A fléchéSinus verse de Parc S A. Mais S A

ou

[4Xx] = SR’ [aa]-4-R A 2 [r ys rr — aa 1 .]

Donc 2 x= aa -h r r —— 1 z r V r r — aa -+-

S I K

rr — aa=szrr — xrsrr—a a. Etpar réduction x = j y z r r — z r

y rr - a a.

Problème III. Le Sinus A N [é] ( PlancheIII Figure 6io.) d'un arc A Q étant donné,trouver S R [ x ] Sinus du double S A.Solution. Aiant A N [é], on tr ouve C N

Sinus du corrplement de AQ = yj r r — b b.Mais les triangles ACN, ASR rectanglesétant semblables , à cause de l’an gle A com -

mun, on aura CA[r]:CN[V/r — bb~\: rSA [1 AN=ii]: S R. Donc x — z b

y~r r — b b.

Problème IV. Le Sinus QD [ a ] Sc S H[ b] ( Plan. III. Figure 611. ) de deux arcsA Q & Q S étant donnés , trouver S F [ * ]Sinus de l'arc SA somme des deux arcsdonnés.

Solution. Puisqu’onalesS'znMíQD & SH,on a les Sinus des complemens Q A ScS Q par le premier problème ; savoir C D =

yrr — a a Sc GH =* r r—b b. Maiscomme les triangles C Q D, C H E fontsemblables, on aura CQ[r]:QD[sl]:î

CH [yrr — bb] : H E = F G = r

V~r r — b b. Et parce que les triangles C Q D& S H G font semblables ( aïant un angledroit, Sc sangle G H S = C Q D j car san-gle Q designe, sangle égale P son alternati-vement opposé, Sc P égale GHS à causede sangle droit S H C ) on aura C Q [ r ] :

CD [Vrr — aa] : : SH [*]:SG =

b _ r a

— V r r — a a. Mais F G -H S G [r f

y rr — b b - 4 -b r V r r —a a ] «= SF [x ]

ys r r- 4 - b b - 4 - bV~r r -H a a.Donc x =-—--

T

Problème V. Les arcs SF [c] ct QD[ a ] (même planche & même figure) desdeux arcs SA ct Q A étant donnes , trou-ver S H [x] de S Q, différence des deux arcs .Solution. Les Sinus c Sc a étant donn és,

on aura les Sinus C D [yrr — a a} Sc

C F [ V r r — c c] de leurs complemen».Et comme les triangles C Q D , CP F fo nt

semblables, on aura C D [yrr — a a J:

D Q[a]: - CF [V r r c7] :FP=z=a

V r r ~~ Mais S F [c] — F Pr r— a a