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DU TROISIÈME LIVRE. 201

coupant l’hyperbole en M et O, m et o, le rectangle L M par M N, ou L Opar ON, sera égal à / m par m n , ou lo par o n , et chacun d’eux sera egalau carré de la moitié de la tangente parallèle r v. Car cette tangente n’estque la dernière des sécantes.

r8°. II suit donc de cette propriété et de la précédente, que, quelque part«tu’on tire , entre les lignes décrites dans la définition VI , une ligne coupantl’hypcrbole, ainsi qu’elles, l’intervalle L M ou ON ne sauroir être zéro, puis-que L M par M N, ou L O par ON, sera toujours égal au carré de la moitiéde la tangente hv. Ainsi ces lignes ne rencontreront jamais l’hyperbole. Elles enapprocheront aussi de plus près qu’aucune quantité donnée ; car ON peut devenirmoindre qu’aucune quantité donnée, puisque L O peut devenir plus grandequ’aucune quantité.

19°. Les parallélogrammes {fig. 34 ) formés dans l’angle asymptotique F CE,ayant sangle commun C, et l’angle opposé dans l’hyperbole, comme CFGE,C fg c, C <P y s , etc. , sont toujours égaux enti’eux. Ainsi l’on a toujours leshauteurs de ces parallélogrammes réciproques avec leurs longueurs.

2 o q . Tout le morde sait que dans le cercle {fig- 35), si on tire du point Aune tangente AT, et une sécante AFE, le carré de A T est égal au rectanglede A F p.ir A E.

II en est de même à certains égards dans les sections coniques, c’est-à-dire,que si la courbe est par exemple une ellipse {fig. 36), le carré de la tangenteA T sera au rectangle A F par A E,-comme le carré d u diamètre M w parallèleà la tangente, au carré du diamètre N n parallèle à la sécante.

Ainsi tirant plusieurs sécantes, les rectangles de leurs segmans seront commeles carrés des diamètres qui leur sont parallèles. Si tous ces rectangles sont égauxdans le cercle, c’est que tous ses diamètres sont égaux.

Tout cela «'applique encore, mutatis mutandis , à la parabole et à l’hy«perbole.

2.1 0 . Dans le cercle, les rectangles des portions de deux lignes qui s’y entre-coupent sont égaux. Dans l’ellipse, ils sont comme les carrés des diamètres paral-lèles à ces lignes. Apollonius entre sur cela dans de très-grands détails, dansun de ses livres.

Telles sont les principales propriétés des sections coniques, qu’on peut légiti-mement penser avoir été connues aux élèves de Platon , óu aux géomètres quiles suivirent de plus près jusqu’à Apollonius. Nous eussions même pu enajouter plusieurs aufres analogues, ou qui en découlent évidemment. Mais envoilà assez, et peut-être trop sar ce sujet.

Fin des Notes du Livre troisième.

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Tome I,