4 o HISTOIRE

ccs ccrdes décroissans clans le cône et infinis en nombre,avec celle de tous les cercles égaux du cylindre, dont len ombre est également infini. Dans le cône, ces cercles décroissentde la base au sommet , comme les carrés des termes d’uneprogression arithmétique. Dans d’autres corps , ils suivent uneautre progression ; dans le conoïde parabolique, par exemple,c’est celle des termes d’une progression arithmétique. L’objetgénéral de la méthode est d’assigner le rapport de cette sommede termes croissans ou décroissans, avec celle des termeségaux, dont est formée la figure uniforme et connue, demême base et même hauteur.

Cavalleri commence donc par examiner quel est le rapportde Ja somme des carrés de toutes les lignes qui remplissentle triangle, avec la somme des carrés de toutes celles qui rem-plissent le parallélogramme de même base et même hauteur ;et il montre que la première est le tiers de la seconde, d’oùil conclut que les pyramides, les cônes, et toutes les figuresdécroissent, comme ces carrés font le tiers des figures uniformesde même base et même hauteur. De-là il passe à examinerles sommes des carrés des lignes qui remplissent diversesautres figures , comme le cercle ou ses segmens, ceux dessections coniques, &c. 11 applique ensuite sa théorie à diversproblèmes, et il passe en revue la plupart de ceux de Keplcr,qu'il résout avec beaucoup d’élégance. En voici quelques-uns.

Kepler avoit demandé la grandeur du corps formé par unsegment circulaire ou elliptique AB E, tournant autour desa corde {fig. 10 ). Que C en soit le centre, dit Cavalleri,B I la flèche, I D le reste du diamètre, et qu’on fasse ce rap-port; comme le rectangle circonscrit A F est au segment, ainsiò C I à D L. Le solide en question sera au cylindre décrit enmême temps par A F, comme i I L , à 3 I B. De cette déter-mination l’on voit renaître le rapport si connu de fhémisphèreou de l’hémisphéroïde au cylindre demême base et même hauteur.Car si le segment A B 1 est un quart de cercle ou d’ellipse ,le point I tombera sur le centre C, et le point L sur D , desorte que la raison de aï L à 31B sera celle de 2 C D à3 C B , ou de 2 à 3.

On trouve par la même méthode, que le solide formé parla circonvolution de l'espace extérieur du quart de cercleou d’ellipse , comme GABH autour de G H ou FI B, estles ~ du cylindre décrit en même-temps par le rectangle G B ,en supposant le cercle au carré du diamètre, comme n à i/f.

Si ce triangle mixtiligne étoit l’espace extérieur d'un seg-ment parabolique tournant autour de la tangente au sommet,1e solide qu’îl décriroit seroit au cylindre circonscrit, comme

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