46 HISTOIRE

les rayons C D , C B, C A , au lieu d’être en proportionarithmétique , comme dans la spirale d’Archimède , sont enprogression géométrique , ou C D est à C B , comme C B àCl A. On remarqua aussi dès lors , cette propriété unique dela spirale logarithmique; savoir, que malgré ce nombre infinide révolutions qu’elle fait autour de son centre avant d’yatteindre, sa longueur totale est finie, et qui plus est, égaleà. une ligne droite qu’il est facile de déterminer. 11 suffit eneffet pour cela , de tirer la tangente indéterminée A S , etd’élever au point C sur le rayon C A , une perpendiculairequi rencontrera nécessairement cette tangente en qnelquepoint S; la ligne A S sera la longueur de toute la spiialecomprise depuis le point A jusqu’au centre, quoi qu’avantd’y arriver , elle fasse un nombre infini de circonvolutions.

Les lecteurs peu géomètres , seront sans doute d’abordtentés de se révolter contre la géométrie, et de regarder cettevérité comme un paradoxe des plus incroyables. Comment ,diront-ils, se peut il faire qu’une ligne qui n’a point de bornessoit d'une longueur finie? Mais nous allons dissiper cettedifficulté par une observation fort simple. Si l’on tire en effetun rayon C A , il coupera la courbe dans une infinité dspoints, comme A, a , a, & c. , et les lignes C A, C a ,C a , &c. à l'infini, seront eu proportion continue. Les cir-conférences des cercles décrits de ces rayons, seront doncaussi en progression géométrique continue, d’où il suit, que quoi-que leur nombre soit infini , leur somme sera encore finie. Maisil est facile d’apercevoir que chaque portion de spirale, com-prise entre deux de ces cercles concentriques , est semblableà celle qui est comprise entre deux autres, et conséquem-ment qu’elle a un rapport déterminé et fini , avec la circon-férence du cercle qui la renferme. Toutes ces portions despirale formeront donc elles-mêmes une progression géomé-trique décroissante. Après cette remarque, tout le merveilleuxde la propriété dont on parle, s’évanouit. II y a long-tempsqu’on ne s’étonne plus de ce qu’un nombre infini de termescontinûment proportionnels géométriquement, et décroissansne forment qu’une somme finie.

VIII.

Nous différons encore à parler de la Cycloïde , jusqu a ceque nous ayons rendu compte d une méthode ingénieuse ,que M. de Roberval imagina vers le même temps. Elle a pourobjet les tangentes des courbes , et elle est remarquable ence qtte le géomètre François paroît avoir eu le premier l’idée