D. U PREMIER'LIVRE. 99

B b , le produit de Aa-f-Bé ( par la propriété du centre de gravité ) , par ladistance dc d à l’uxe de rotation GH, sera égal au produit de A a , par iadistance du centre de gravité à ce même axe , plus le produit de B b , par ladistance de b au même axe ; et par conséquent, en prenant* au lieu des rayons,les circonférences qui sont dans le même rapport, le produit de A d par le cheminde son centre de gravité , plus le produit de B b par le chemin de son centrede gravité , seront égaux au produit de A <z -f- B b , par le chemin de lêur centrede gravité commun d ; or le premier produit est évidemment égal au solide décritpar la figure formée de A a plus B b ; donc le second lui est aussi égal.

Lc même raisonnement est applicable au cas où la ligure sera divisée en 3 , en4 5 en 10 , en roo parties.

Si donc on inscrit et circonscrit à une figure courbe quelconque ( fig. 6 ) lesrectangles, comme A, B, C, Lee. , le solide qu’ils décriront sera égal au produit deces rectangles, par la circonférence que décrira leur centre de gravité commun.

Que ces rectangles maintenant soient multipliés à l'insini , ils se confondrontavec la figure même ; et conséquemment leur centre de gravité commun sera celuide la figure. Ainsi, le produit de la figure , par le chemin de son centre de gravité ,sera égal au solide qu’elle formera par sa circonvolution.

NOTE C.

La proposition féconde dont nous avons parlé nous donne d’abord deux manièresfaciles de quarrer la parabole.

Car soit ( fig, 8 ) une pyramide A B C et l’espace parabolique extérieur D E Fcompris entre la parabole, la tangente au sommet et une parallèle à l’axe. II estfacile d’appercevoir que ces figures sont semblablement décroissantes ; car l’élémentde la pyramide / g croît dans le même rapport que le quarté de sa distance ausommet, et dans la parabole exiérieure l’ordonnée HI croît de même comme lequarté de D H. L’espace extérieur D EF de la parabole sera donc le tiers du pa-rallélogramme de même base et même hauteur, comme la pyramide ou le côneest le tiers du prisme ou du cylindre de même base et même hauteur.

Soit encore ( Jìg. 9 ) une parabole dont 1 esc le sommet , 1 K l’axe , E F uneordonnée; c’ost une propriété de cette courbe, que tirant une ligne quelconqueG H parallèle à Taxe, on a G H à K I, comme le rectangle E G F à £ K F, ouKFb Or cette propriété est celle des élémens de la sphère, dont l’axe seroitE G F ; car par la propriété du cercle, G M 1 : K L 1 : : E G x G F : K F 1 , etpar conséquent le cercle décrit du rayon G M qui est uu des élémens de la sphère,est au cercle décrit du rayon K L dans la même raison de E G x G F à K F’.C’est pourquoi KI est à G H, comme le cercle N L au cercle O M. La sphère,et la parabole ainsi considérée , sont donc des figures analogues ou sem-blablement décroissantes. Par conséquent, la sphère étant au cylindre circonscritcomme a à 3 , la parabole E I F sera au parallélogramme de même base et mêmehauteur dans la même raison ; et au contraire, si la quadrature de la paraboleétoit la première connue, on en conclueroit que là sphère est les deux tiers ducylindre de même base et même hauteur.

Cette manière de déterminer la quadrature de la parabole va aussi nous donnerla mesure du conoide hyperbolique. Car que la parabole B A C ( fig. n ) soitprolongée de même que l’ordonnée C B , et que H K rs B E soit l’axe tr.tnsversed’un conoide hyperbolique ; si l’on tire les lignes D F, EG , on aura dans la pa-rabole D F à E G , comme F C x F B à CGxGB; car c’est là une des pro-priétés connues cle la parabole. Mais dans le conoide hyperbolique', on a le cercleM K ' ar ^t tre ^ P à celui de O Q , comme le rectangle L K X L H au rectangleX MIE; c’est-à-dire dans la mêmi raison. Ainsi, l’espace parabolique G li E

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