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4°. II peut y avoir autant de différens systèmes de logarithmes qu’on peutassigner de valeurs différentes à la raison de P A à P B et à A’ B’. Car si P A està P B comme ià 10, et AB — i ou ì.oocooo , on aura nos logarithmes com-muns , ou ceux de Briggs, Wlacq, ou de nos tables ordinaires ; mais rien ne né-cessite cette supposition. On peut donner à A’B’ telle valeur qu’on voudra , etalors tous les logarithmes de ce nouveau système seront aux correspondans dupremier , comme cette valeur à l’autre.

5°. La manière dont Neper détermina primitivement ses logarithmes suit na-turellement de celle dont il en concevoit la génération. Ainsi , pour trouverl’espace A’B’ parcouru d’un mouvement uniforme, pendant que AB l’étoit d’unmouvement continuellement accéléré ; ayant pris P A à P B comme i à 2 , il tirala racine quarrée de 2 , et ensuite la racine quarrée de celle - ci, et ainsi d®suite, jusqu'à ce que, par une dernière extraction, il parvint à une quantitéTa , dont l’excès A a sur P a n’étcit qu’une fraction comme infiniment petite,savoir o.coocooi. Or, dans ce cas , A a peut être censé parcouru uniformément,et A’ B’ doit contenir autant de fois A a qu’il y a de moyennes proportionnellesinsérées de cette manière entte 1 et 2 ; or il s’en trouve par ce procédé 6931472 ;et entre 1 ct 10, il y en a 23025830. Ainsi, multipliant o.oocooci par 6931472 ,on a 0.6931472 pour le logarithme de la raison de 2 à 1, ou de 2 , et 2.3025850pour celui de la raison de 10 à 1 , ou de 10. Ce sont la les logarithmes queNeper rencontra par son procédé, et qu’on nomme hyperboliques, parce qu’itsreprésentent les aires de l’hyperbole équilatère entre les asymptotes, le quartéinscrit dans ces asymptotes, ou la puissance de l'hyperbole, étant 1.

Mais il n’y a aucune nécessité de prendre A a pour le logarithme de P a. Toutmultiple ou sous-multiple le peut être également, et alors tous les logarithmesétablis sur cette suppcsitioft seront augmentés ou diminués proportionnellement.Nos tables ordinaires, par exemple, sont construites comme si au lieu de A u ,on n’en avoir pris qu’un peu moins de la moitié , 011 la 0.4342994''. partie, cequi vient de la supposition faite que le logarithme de 10 soit l’unité ; car l’unitéest au logarithme de 10 selon Neper, ou 23025850, précisément comme0.4342994. Ainsi, nos logarithmes ordinaires sont à ceux de Neper, comme04342994 a 1 ; ou, ce qui est la même chose, comme 1 à 2.3025850. C’estpourquoi , en multipliant nos logarithmes ordinaires par 2.3025850, on les réduita ceux de Neper , ce qui sert à calculer les aires de i’hyperbole équilatère ( sisouvent employées dans des problèmes d’un certain ordre ), quand on n’a pasde tables de logarithmes Népériens. Pour réduire au contraire ces derniers àceux des tables ordinaires ; il les faudra diviser par 2.3025 , &c. , ou , ce qui estla même chose , les multiplier par 0.4342994.

N O T E B.

Sur la fameuse règle de Battus ou de Culdjn.

L’importance de ce principe nous engage à en donner la démonstration, quoiqu’ungéomètre un peu exercé puisse facilement la trouver, dès qu’il a une idée du centrede gravité et de ses propriétés.

SÌ le rectangle A a ( /?g. 5 ; tourne à l’entour de Taxe G H ,,il décrira évidemmentu n. cylindre creux, dont la solidité sera le produit de A a , par la circonférencemoyenne entre celles que décrivent ses côtés autour de l’axe de rotation ; c’est-à-dire , par ia circonférence du cercle , dont le rayon est D a , la distance ducentre de giavité a à cet axe. De même , le solide creux, décrit par le parallé-logramme B b , sera le produit de B b , par la circonférence que décrit le centreèe gravité L ; que d soit maintenant le centre- de gravité des. deux rectangles A a,