DE S‘MATHÉMATIQUE S. Fart, IV. Liv. II. ia5Pappus n’énonce point. Ainsi l’on peut dire, sans déroger aumérite de la savante antiquité, que les solutions qu elle avoitdonnées de ce problème, étoient fort imparfaites: elle n avoitfait qu’entrevoir celle de quelque cas simple , et elle avoitentièrement échoué aux plus difficiles.

Descartes soumettant ce problème à son analyse, en donneune solution complète. 11 fait voir dès la fin de son premierlivre, de quel ordre est le problème dans les différens cas. Cesera une simple ligne droite, s'il n’y a que deux lignes, unesection conique, s’il y en a trois ou quatre; une courbe d utroisième ordre, s’il y en a cinq ou six, et ainsi de suite. Enfinîe problème est toujours plan , s’il ne s’agit que de trouverun des points qui satisfont à la question , tant qu’il n’y aurapas plus de quatre lignes : il sera solide, tant que le nombrede ces lignes ne passera pas huit, &c.

Ce problème ébauché dans le premier livre , est achevédans la première partie du second. Descartes y expose àcette occasion sa formule générale d’équation pour les sectionsconiques , quelle que soit la position de l’axe auquel on lesrapporte , et il en montre l’usage en l’appliquant au problèmeen question. Ce morceau vraiment digne du génie de notrephilosophe, contient en peu de nlots toute la théorie des lieuxgéométriques du second degré. Descartes termine enfin ce qu’ily a à dire sur ce problème , en donnant une constructiongéométrique fort élégante d’un de ces cas particuliers quipassent le second degré. C’est celui où l’on a cinq lignes, quatreparallèles avec une autre qui leur est perpendiculaire, et où ilfaut que le solide de trois des lignes qui seront tirées à anglesdroits, soit égal au solide formé des deux restantes et d’unesixième donnée. Alors le point cherché se trouve continuellementdans une espèce de conchoïde, qu’il nomme parabolique. Pouren donner une idée nous observons que la conchoïde ordinaireest formée par l’intersection continuelle d’un cercle qui se meutsur l’axe ACE (/ìg. 42 ) , avec la ligne droite mobile , qu!passe continuellement par son centre et par le point P. Onpeut donc , pour généraliser cette construction , supposer aulieu d’un cercle une courbe quelconque , par exemple , uneparabole, qui se mouvra de la même manière sur Taxe AE, etqni entraînera une ligne droite passant par un point de sonaxe, et par le pôle P. Leur intersection continuelle, soit endessus , soit en dessous, décrira une courbe qu’on nommeraune conchoïde parabolique, et qui sera composée de plusieursbranches, comme on voit dans la sig. 4$. 11 est remarquable quesi au lien de cercle et de parabole , on se sert d’un trianglerectiligne, ou d’un angle comme BDC, B d C, &c. {fg- 44 4