DES MATHÉMATIQUES. Pa*t. IV. Liv. II. 1*7et la coupera encore une ou deux fois , suivant le nombredes autres racines inégales : car un point cle contact 11’est autrechose que deux points d intersection infiniment proches etco'incidens. Ainsi l’ordonnée tirée de ce point sur l’axe, serachacune de ces deux racines. II pourroit encore se faire qu’ily eût dans une équation du quatrième degré de la forme decelles que construit Descartes, trois racines égales. Alors lecercle, après avoir coupé la parabole d’un côté iroit la ren-contrer de l’autre dans un point de contact et d’intersection àla fois , qui équivaut à trois points d’intersection. On feraconnoître dans la suite ce genre d attouchemens de courbes ,qu’on désigne par le nom d’osculation.

Après divers exemples de construction de problèmes solides,Descartes passe à la résolution du cinquième et du sixièmedegré. Les mêmes raisons qui démontrent que les premiersne peuvent être construits que par une section coniquecombinée avec un cercle, font aussi voir que la constructionde ceux-ci demande quelque courbe du troisième degré.Descartes donne une règle générale pour les équations duCinquième et du sixième degré , en les réduisant à une dusixieine, dont toutes les racines seroicnt positives : il y emploieensuite sa conchoïde parabolique , courbe du troisième degrédont nous avons parlé plus haut, avec un cercle. Ce cercle lacoupe en autant de points qu’il y a de racines réelle^ dansl’équation , en comptant les points de contact pour deuxd’intersection ; et les ordonnées tirées de ces points sur l’axesont les racines de i’équation.

Descartes paroît cependant avoir été dans une fausse opinionconcernant les courbes propres à construire les équations desordres supérieurs. II semble qu’il ait voulu qu’à mesure quel’équaiion m on toit de deux dimensions , celle de la courbe àcombiner avec le cercle montât aussi de deux degrés ( 1 ), desorte que pour construire , par exemple , un problème duhuitième degré , il faudroit une courbe du sixième combinéeavec un cercle. Si ce fut là le sentiment de Descartes , onne peut disconvenir qu’il se-trompa, et cette erreur n’échappapas à M. de Fermât. II a fait voir dans quelques écrits parti-culiers ( 2 ) qu’it suffit, que fe produit des exposans des courbeségale celui de l’équation à construire : ainsi l’on peut cons-truire une équation du huitième degré, par le moyen d’uncercle et d’une courbe du quatrième. Une équation duneuvième degré n’exigeroit qu’une courbe du cinquième avecUn cercle , ou deux du troisième. Jacques Bernoulli, ne con-

f 1 ) Can. Geom. ad fin.

(2) Fermât . op. p. i,0 , et -eq.