i3a HISTOIRE

11 est peu de questions plus utiles et plus curieuses dansla géométrie que celles de maximis et minimis. On donne_ce nom à toutes celles dans lesquelles une grandeur qui variesuivant une loi connue, croissant jusqu’à un certain terme etdécroissant ensuite, ou bien au contraire croissant après avoirdiminue jusqu’à un certain point, il s’agit de déterminer cepoint où elle devient la plus grande , ou la moindre qu’il estpossible. Outre Futilité de cette détermination dans la géométriepure , son application est Fréquente dans les mathématiquesmixtes. Toutes les Fois qu’un effet produit par une combinaisonde causes augmente, puis diminue, ou au contraire, voilà lecas d’un maximum > ou d’un minimum à déterminer. AinsiFon ne doit point regarder ces questions comme de purescuriosités géométriques, mais comme des plus importantes dansdétendue des mathématiques.

Toute grandeur variable suivant une certaine loi , peuts exprimer par l’ordonnée d une courbe d’ime espèce particulière.Ainsi la détermination du point où cette grandeur atteint à sondernier période d’augmentation ou de diminution , n’est auxyeux du géomètre, que celle de la plus grande ou la moindreordonnée d’une courbe d’équation donnée.

II est Facile de voir que si M est un point de maximum, oude minimum , la courbe, aux environs de ce point, sera néces-sairement coupée par quelque parallèle à l’axe , en deuxendroits, comme C, c. Pour s'en convaincre,' il suíïit de consi-dérer la figure 46, qui représente toutes les différentes espècesde points de maximum ou de minimum. .De là il suit qu’ensupposant B C , ou l’ordonnée déterminée , l’équation de lacourbe- contient deux racines j ou deux valeurs inégales de1 abscisse, comme AB, ou A b. Mais au point de maximumou de minimum , ces deux ordonnées se confondent, et parconséquent I équation de la courbe doit donner deux valeurségales à l’abscisse. 11 faudra donc, en Faisant B C indéterminée,supposer dans cette équation deux valeurs égales; ce qu’çn Feracomme on a vu ci-devant dans la méthode des tangentes et Fonaura la valeur de F-abscisse A5 à laquelle répond la plus grandson la moindre ordonnée.

II y a nue observation importante à Faire concernant larègle maximis et minimis, tuée du principe de Descartes ;c'est qu’elle donne non-seulement les points de plus grandes etmoindrt s ordonnées de courbes , mais aussi ceux où deuxbranches de la combe s’entre-coupent, lorsque cela arrive,connue on voit en N. Cela est une suite nécessaire du principesur lequel elle est fondee. Car il arrive aussi dans ce dernierpoint, que deux intersections de la courbe avec une parallèle