DES MATHÉMATIQUES. Part. IV. Liv. II i33à l’axe coïncident, et par conséquent y a deux valeurs égalesdans l’équation de la courbe. Mais c’est là une sorte de défaut ;car outre qu’un point d’intersèction de deux branches decourbe est d une nature bien différente que ceux des plus grandesou moindres ordonnées, ces derniers doivent aussi être divisésen deux espèces qu’il faut distinguer, quand on veut recon-noître la forme d une courbe. Les uns sont ceux où la tangenteest parallèle à l’axe ; ce sont les véritables points de maximumou minimum. Les autres sont ceux où cette tangente lui estperpendiculaire ou oblique, comme les trois avant-derniersclans la figure ci-dessus. Ces points se nomment aujourd’huipoints de rebrousseinent. Or la règle de Descartes confond tousces points entr’eux, et par conséquent induit en erreur sur laforme de la courbe, à moins qu’on ne les examine ensuitechacun en particulier.

La manière de les examiner, si l’on se servoit de la règle deDescartes , consisteroit à chercher à chacun de ces points ladirection de la tangente. Car si elle devenoit parallèle à l’axe ,ce seroit un signe que les points où cela arriveroit, seroientde véritables points de maximum ou minimum , mais si elleétoit perpendiculaire ou oblique, c’est-à-dire, que la sontan-gente fût nulle ou d’une grandeur finie, les points qui auroientcette propriété seroient de simples points de rebrousseinent.b’il arrivoit enfin que cette soutangente fut comme indéterminée,c’est-à-dire, que le numérateur et le dénominateur de la fractionqui l’expriineroit, devinssent l’un et l’autre zéro, on auroit unpoint d’intersection de deux branches de la courbe. En effet ,c’est ce qui doit arriver à un point de cette espèce ; carI expression de la soutangente ne peut donner qu’une seulevaleur : et cependant à une intersection de rameaux de courbe,il y a plusieurs tangentes, puisque chaque rameau a la siennepropre à ce point. II faut donc dans ce cas que l’analyse 11 eréponde rien, et c’est ce qu’elle fait en donnant une fractiontelle que f.

Lorsqu’une courbe, de convexe qu’elle étoit vers son axe ,devient concave, ou au contraire, il y a un point qui séparela convexité de la concavité , et qui est en quelque sorte lepassage de l’une à l’autre, ce point se nomme point d’inflexion,ou de changement de courbure. II .nous íaut encore montrerbrièvement de quelle manière on peut les trouver dans lathéorie de Descartes.

four connoître la nature d’un point d’inllexion, il faut faireles remarques suivantes. Lorsqu’une courbe a une partie convexeet l’autre concave , elle peut être coupée en trois points parune dr cite k ou touchée en un et coupée dans un autre, ce qui