DU SECOND LIVRE. 177

2*. Puisque chaque portion infiniment petite Ee d’une courbe est un arc desecteur dont le centre est sur la développée, il s’ensuit que la courbure d’unecourbe à chacun de ses, points est la même que celle du cercle décrit du rayonde la développée ; et comme un cercle est d’autant moins courbe que son rayonest plus grand , il s’ensuit que la courbure d’une courbe à chaque point est enraison inverse du rayon de la développée.

3°. Entre ce cercle décrit du rayon de la développée et la courbe, on ne sautoirfaire passer un autre cercle : tout autre tombera , ou tout en dedans, ou tout endehors, hors le point de contact. H en est enfin ici de même qu'à l’égard du contactd’un cercle entre lequel et la tangente on ne sauroit mener une ligne droite. Lecercle décrit du rayon de la développée est donc celui qui touche intimementla courbe. II y a en effet dans ce cas au moins trois points d’intersection quicoïncident, tandis que dans un contact simple il n’y en a que deux.

4 0 . Une courbe algébrique étant donnée , on peut trouver l’équation de cellequi la décrivoit par son développement ; on pourroit employer pour cela uneméthode analogue à celle de Descartes pour les tangentes. Si l’on conçoit uncercle décrit d’un rayon indéterminé et coupant la courbe en plusieurs points, etqu’on cherche par l’analyse oidinaire les abscisses qui répondent aux points d’in-tersection , on trouvera une équation dans laquelle il y aura trois valeurs égaleslorsque ce cercle deviendra le cercle osculateur, ou son rayon celui de la dé-veloppée. II n’y aura donc qu’à comparer cette équation à une équation feinte ,ayant trois valeurs égales, comme x 3 — 3er*-(- 3 — elr ; et cette comparaison

donnera le rapport du rayon de la développée avec l’abscisse de la courbe ; maisnous nous bornons à indiquer cette méthode, parce qu’elle est trop laborieuse.O11 peut toutefois en voir des exemples dans les auteurs qui ont cômmenté lagéométrie de Descartes, entr autres le P. Rabuel. Mais sans recourir encore aucalcul différentiel , il y en a une autre assez simple et fondée sur les mêmesprincipes que celle de Fermât pour les tangentes.

En effet, une courbe étant donnée, {fig. 56 ), on connoît la position de chacune deses normales KQ,FH qui répondent à des ordonnées éloignées d’une distance finie,comme e; on peut par conséquent trouver par une analyse assez simple la distancedu point b, où doivent se couper ces deux perpendiculaires , ce qui donnera lavaleur de l’une des lignes E b ou F b. Mais supposons que la distance de ces ordon-nées e diminue , et enfin s’évanouisse, le point b se rapprochera de la développée,et enfin tombera sur elle. II faudra donc, comme dans la règle ci-dessus , supposercette distance s’évanouir, ou supprimer de l’expression de la ligne E b ou F b lestermes où « se trouve monter à des degrés au-dessus du premier. La valeur qu’auradans ce cas la ligne EB sera le rayon de la développée au point E. Mais lorsqu’onconnoîtra la valeur analytique de EB, rien ne sera plus facile que de déterminercelles des lignes B R , A R, qui sont l’ordonnée et l’abscisse de la ligne cherchée.L’est ainsi qu’Huygens, appliquant le calcul à la développée de la parabole or-dinaire , trouvoit que cette développée étoit une des paraboles cubiques , savoircelle dont l’équation est -à * étant l’ordonnée , et y l’abscisse. On volt

enfin par là qu’il y a une infinité de courbes absolument rectifiables, M. Descartesdésespéroit qu’il fût possible d’en trouver une seule : quel eut été son étonnement,s’il eût été témoin de cette découverte ? Mais ce ne sont plus là aujourd’hui quedes jeux de la géométrie.

Fin. des Notes du second Livre de la quatrième Partie.

Tome II.

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