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Or il est aisé de voir que la surface de cet onglet cylindrique est à la surface decirconvolution décrite par la courbe ID<f autour de l’axe ! A, comme le rayondu cercle est à sa circonférence , et conséquemment l’aire de la courbe I F E ,multipliée par le rapport de la circonférence du cercle au rayon , est égale à lasurface courbe décrite par la courbe II) à l’entour de Taxe I A.
Or on trouve que si la courbe ID est une parabole, FE (n°. i ) en estaussi une dont le sommet est quelque peu retiré en arrière, savoir d’une quantitéégale au demi-paramètre.
Si ID est une ellipse rapportée à son grand axe ( n°. i ), f E en est encoreune , dont le sommet a est éloigné du point I d’une quantité égale au demi-paramètre de l’axe IA , en sorte que l’aire ÍFEP est un segment d’ellipsetronqué.
Mais si la courbe I D est une ellipse rapportée à son petit axe , la courbe F Eest une hyperbole rapportée à son axe conjugué , en sorte que l’espace IFEP«st un segment d’hyperbole.
D’où résulte , pour abréger , qu® la mesure de la surface du conoïde paraboliquedroit dépend de la quadrature de la parabole qui est donnée, et du rapport dela circonférence au rayon, qui est censé donnée. Celle du sphéroïde elliptiquetournant autour de son grand axe , de la mesure d'un segment elliptique combinéavec la même raison, et enfin celle du sphéroïde elliptique forme autour du petitaxe de la quadrature de l’hyperbole.
On trouvera également que dans le cas de l’hyperbole tournant autour de Taxetransverse, la mesure de sa surface dépendra de la quadrature de i’hyperbole.
N O T E F.
Voici encore quelques vérités de la théorie des développées que, pour ne pointtrop charger notre ouvrage de détails épineux, nous avons cru devoir rejetter ici.
i°. Si d'un point de la développée B et du rayon B E on décrit un cercle ,il touchera et coupera à la fois cette courbe Cette propriété , qui doit paroîtrefort singulière , est néanmoins facile à démontrer. Car puisque le petit côté E ede la courbe décrite est Taxe d’un des secteurs infiniment petits qui ont leursommet dans la développée, le cercle dont cet arc est partie , et la courbe A E F,auront une tangente commune au point E ; le cercle touchera donc la courbeà ce point. Mais on démontre aussi qu’il en sort d’un côté et qu’il y entre del’autre ; d’oìi il suit qu'ii la touche et la coupe à la fois. Car nous ferons d’abordvoir facilement que le cercle sort de la courbe du côté A. En effet, il est évidentque si nous tirons une autre tangente T H {fig. 58 ), le côté B T est moindreque l’arc B H et la droite T H. Or ces deux lignes prises ensemble sont égalesà BE, par conséquent B T est moindre que B E ou B e ; le cercle passe doueau - delà du point T. On démontre par un procédé semblable qu’il tombe au-dedans du côté opposé.
Cette propriété paroîtra sans doute un paradoxe à ceux qui ne connoissen»que la géométrie ordinaire ; mais il n’y a qu’à considérer les courbes comme despolygones d’une infinité de côtés , pour faire disparoître tout le singulier qu,présentent un contact et une intersection à la fois. II est aisé de voir , dans lafigure 59, que si CI), DE, EF sont trois côtés infiniment petits d’une courbedont A B est tangente , il peut y en avoir une autre , comme c D E F, qui aitavec elle le petit côté DE commun , et conséquemment la même tangente, etqui passe d’un côté entre la courbe et la tangente , et de l’autre les laisse toutesdeux de même part. Rien n’empêche même qu’une courbe comme tDE( netouche et ne coupe à la fois une ligne droite, et c’est ce qui arrive dans le,points d’inflexion , comme on l’a déjà remarqué.
a*.