'D U TROISIÈME LIVRE. 218
Je viens maintenant à k démonstration tirée du calcul analytique. Pour cetestet , soit s l’espace parcouru d’un mouvement accéléré , et d s l’élément dq. cetespace, qui peut être conçu comme parcouru d’un mouvement uniforme ; soit
— u la vitesse qui répond à l’espace s , et qui selon cette hypothèse lui estproportionnelle ; que t représente le temps employé à parcourir s , et consé-quemment d t le tempuscule employé à parcourir d s : maintenant on sait quel’espace parcouru par un corps mu uniformément est en raison composé du tempset de la vitesse avec laquelle cet espace est parcouru ; ainsi , on aura le petitespace d s , en raison de d t et de u , ou — udt , ou d t=i ~ ; et comme u estproportionnel à r, on aura dt=Zj, ou t — S^; mais S~ est le logarithmede s , lequel , par la propriété de l’hyperbole ou des logarithmes , est infiniquand s est zéro. Ainsi, en supposant s — o , ou le corps au commencementde sa chute, ìl lui faudra un temps infiniment long pour en parcourir le premiertlement, c’est-à-dire, que le mouvement du corps seta impossible.
L’on trouve en effet par un autre raisonnement que le corps', au commen-cement de sa chute , serait sans force accélératrice pour tomber , ou n’auroit. aucune pesanteur. Car en conservant les dénominations ci-dessus , soit G , cetteforce accélératrice dans les divers points de la chute du corps, il est évident quel’accroissement de la vitesse produite dans le corps mu par l’action d’une forceest en raison de l’intensité de certe force , et du temps pendant lequel elle agit ;ainsi, l’on aura Gdt — du. Or on a trouvé plus haut d t } ou ^, puisque "u est proportionnel à s ; d’oìi il suit, qu’en mettant au lieu de dt sa valeur
— , on aura — -—du, ou G = ~ ; mais ~ représente la sous-normale de lacourbe dont s est l’abscisse, et u l'o,donnée; courbe qui, dans le cas de l'hy-pothèse que nous examinons, n’est autre qu’une ligne droite, puisque u est pro-portionnelle à s ; et dans une pareille courbe , la sous - normale est zéro , ausommet , ou lorsque s o ■ la force accélératrice G , ou la pesanteur seroitdonc o au commencement de la chute ; c’est-à-dire, cette chute seroit impossible.
II nous reste à examiner l’hypothèse véritable de Baliani, celle où l’on supposeque l’espace parcouru dans le premier instant de la chute étant i, celui qui seraparcouru dans le second instant sera i ; celui qui répondra au troisième instant,
3 , &c..et ainsi de suite. On trouve dans cette hypothèse que les espaces parcourusaprès un premier instant, après r , après 3 , &c. , sont comme 1. 3. 6. 10. &c. ,c’est-à dire comme les nombres triangulaires répondans au nombre des instansécoulés, au lieu que dans 1 hypothèse de Galilee , qui est la vraie, ces espaceseont comme les quartés des nombres 1. a. 3. 4. &C. ou 1. 4. 9. 16. 23. &c.Soit donc (fig- 70 ) la courbe I RS , dont l’axe est A Q, sur lequel les abscisses JAP = í représentent les temps et les ordonnées RR — «, les vitesses acquises,l’aire A P R représentera l’espace parcouru depuis le commencement de la chute ;or cet espace est comme le nombre triangulaire correspondant à l’abscisse A Pou t , et ce nombre triangulaire est représenté par , en prenant a pour unaquantité arbitraire et constante ; d’un autre côté, l’aire APQ est = S u d/ ; on auradonc Sudt~‘~— ,cu udt=z—~—, ce qui donne Ainsi, en sup-
posant tzto ou au commencement de la chute , le corps aura déjà acquis unevitesse représentée par un - a ., ce qui est faux, et meme absurde ; car il est aiséde démontrer, par la nature de l’accelération , que cette vitesse est au commen-cement de la chute moindre que toute vitesse donnée. L’hypothèse véritable deBaliani n’est donc, quoiqu’en ayent pu dire ses apologistes, guères moins contraireà 1a vérité et à la nature , que celle qu’on lui attribue vulgairement.
J’ai dit qu’on peut facilement démontrer que la vitesse d’un corps au com-mencement de sa chute est moindre que toute vitesse donnée ; car supposons qu’à
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