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tire même une solution arithmétique assez praticable. Le P. Vincent Riccati ,jésuite, en a donné deux dans ses Opuscula (i) ; l’une emploie la cycloide elle-même , et l’autre la courbe appellée la compagne de la cycloide , cu la courbedes sinus. Elles sont toutes deux fort élégantes ; et ce géomètre déduit de ladernière une expression approximative d’une pratique assefc facile.

En général néanmoins ces solutions ont paru plus curieuses dans la théorie,qu'utiles à la pratique de l’astronomie. C’est pour cela que Neuton dans l’en-droit cité de ses Principes , fait suivre la solution de Wren d'une autre déduitede l’anaiyse , et qui consiste en une suite d’arcs ou d’angles décroissans , quisont la correction à faire à l’anomalie moyenne, pour avoir la vraie.

Cette solution a cependant paru et est en effet assez compliquée pour avoirengagé les docteurs Keil et Grégori a en proposer chacun une autre ; le pre-mier , dans ses Prdectiones Astronomie#, et le dernier dans ses Astronomie fhys.tt geom. Elementa. En voici l’esprit.

Le problème se réduit, comme on l’a vu plus haut, à retrancher d’un cercleun espace AS D égal à un secteur donné du même cercle par une ligne droitetirée du point 8 autre que le centre. Or , en employant les calculs modernes ,on trouve une série qui exprime la valeur du secteur formé au point 8, et qui.répond à l’indéterminé DE. On égale cette suite à l’espace donné, et par laméthode du retour des suites on trouve la valeur de D E exprimée par unenouvelle série qui est assez convergente quand l’excentricité est fort petite, ensorte que peu de termes donnent la valeur de DE assez exactement pour lesbesoins du calcul astronomique. Or, ayant la valeur de D E , qui est le sinusde l’arc AD, celle du cosinus CE sera conséquemment connue ; et étantajoutée à la demi-excentricité SC, donnera S E. On aura donc l’angle DSE;et cet angle étant connu , l’angle T S E est facile à trouver, puisque D E est àTE dans la raison connue de BC à F C. Cette solution , au reste n’a pas étéinconnue à Neuton ; car on la lit dans le Commtrcium Epistolicum de analysepromota.

Mais les géomètres et astronomes qui tendent toujours à la perfection n’ontpas encore trouvé que cette solution ne laissât rien à désirer ; et en effet ,lorsque l’excentricité est un peu grande , comme dans l’orbite de Mercure, oùelle excède un cinquième du grand axe , 1’emploi de la série en question estpénible , d’autant plus que la loi de ses termes est compliquée et peu appa-rente , comme il arrive d’ordinaire dans le retour des suites. Ainsi , d’un côtéles astronomes ont cherché des approximations purement trigonométriques, etles géomètres d’autres solutions analytiques plus simples.

Pour commencer à parler de ces derniers , nous citerons d’abord un savantécrit de M. Machin , inséré dans les Trans. philosoph. de 1738 , où il donnepour cet effet des séries extrêmement convergentes, d’où il dérive une solutiontrès-simple et très expéditive. M. Jeaurat a aussi donné , dans les Mémoires pré-sentés à l'acaiémie par divers savans , t, IV , une solution fondée sur le calculanalytique des Sinus, et dans laquelle la correction à faire à l’anomalie moyenneest exprimée par des Sinus d’angles donnés, et de leurs multiples, multipliéspar des coéffìciens déterminés. II en fait voir l’usage par l’application à descas les plus défavorables du calcul. IL y donne aussi par de semblables sériesla longueur du rayon vecteur de la planète, qui est d’un usage si fréquent dansle calcul astronomique.

Le citoyen La Grange , enfin , a traité ce problème dans les Mémoiresde /’académie de Berlin {ann. 1 769 ) , en y faisant usage de son beau théorème,

(i) Opusculum VU .