392 HISTOIRE

coupée en une infinité de points par une ligne droite , ce quine sauroit arriver à une courbe géométrique. Ceci nous donnela solution de i’espèce de paradoxe remarqué plus haut. Lacycloïde ordinaire n’est qu’une épicycloïde formée par un cerclefini roulant sur un cercle infini. Mais le fini et l’infini sont in-commensurables. Ainsi elle est dans le cas des épicycloïdes àbase incommensurable avec le cercle générateur, et elle doitêtre transcendante comme elles.

C’est encore une propriété remarquable des épicycloïdes, soitgéométriques, soit transcendantes , qu’elles sont absolumentrectifiables, du moins dans le cas où le point décrivant est surla circonférence du cercle générateur. On démontre en effetque la circonférence de Pépicycloïde GEF (Jìg. io3 ) est auquadruple du diamètre du cercle générateur B E , comme lasomme des diamètres des deux cercles est à celui de la base; maissi Pépicycloïde est intérieure ou décrite par un cercle roulantintérieurement, comme J eg dans la même figure , alors au lieude la somme ci-dessus, ce seroit la différence. Ainsi, dans lepremier des cas énoncés, le cercle générateur étant supposéavoir son diamètre égal à la moitié de celui de la base, ontrouvera que Pépicycloïde FHEG est égale à 6BE. Et dansle second cas , où FI est un quart de F G, la courbe F eg setrouvera égale à 3 FI.

Remarquons , comme une singularité assez curieuse , quelorsque le cercle générateur est la moitié du cercle base , commedans la figure 104 , alors Pépicycloïde dégénère dans une lignedroite, savoir le diamètre me me de la base ; c’est au surplus uneconséquence de la formule.

Veut-on voir reparoître ici la cycloïde ordinaire et sa pro-priété célèbre d’avoir sa circonférence égale à quatre fois lediamètre du cercle générateur , il n’y aura qu’à supposer lecercle base infini ; alors la raison ci-dessus se changera en uneraison d’égalité ; car l'irisini, augmenté ou diminué d’une quan-tité finie, est toujours le même.

Remarquons encore que lorsque le point décrivant de Pépi-cycloïde est pris au dedans ou au dehors de la circonférencedu cercle générateur , la longueur de Pépicycloïde est égale àune circonférence d’ellipse facile à construire.

A l’égard des aires des épicycloïdes, elles se déterminent parPanaîogie suivante : comme le rayon du cercle de la base : àtrois fois ce rayon, plus deux fois celui du cercle générateur,ainsi le segment circulaire óH, au secteur épicycloïdal 611 F,ou tout le cercle générateur , à Paire entière de PépicycloïdeFEGB. Je ne dis rien des tangentes : on sait depuis le tempsde Descartes que la ligne H b , tirée d’un point quelconque H »