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SIXIÈME LIVRE.

CONTENANT QUELQUES DÉVELOPPE MENS ÉLÉMENTAIRES DU

Calcul des Fluxions et Fluentes.

Quoique nous ayons renvoyé (page372 ) aux livres élémentaires de ce calcul, ilnous a paru qu’il ne seroit pas entièrement inutile d’entrer dans quelques détailssur les premières opérations qu’il présente.

Ayant démontré ( page susdite ) que la fluxion de xy est yx-j-xy, il estfacile de démontrer que celle de xy{ est y xy-{~yx{ ; car si l’on suppose

xy z= u , on auts xy ^ — u ^ f dont la fluxion sera u {-f- { ’u : or l'on a ii = y x-\-{y»Ainsi, mettant à la pLce de u et u leurs valeurs dans l'expression ci-dessus,on trouvera la fluxion de xy ^ — y çx-|_£xy-|-y x{ ; d’où il est facile de tirerla règle générale pour tous les cas semblables.

Cela montre encore que la fluxion d’un quarté xx est 2xi; que celle d’utveubex’ est )x 2 x; que celle enfin d’une puissance de x, comme x”, est mx""'x.

Ainsi la fluente , ou la quantité dont provient une fluxion comme y x-f-x y ,sera yx (nous faisons abstraction de la quantité constante qui peut, suivant lescirconstances, être ajoutée à yx) ; car il est évident que si l’on avoit la quantitéyx-i-a, où a est une quantité invariable, sa fluxion seroit également x 'y-\-y 'x.Mais on verra ailleurs comment cette constante , si elle doit avoir lieu » peut êtredéterminée.

Ainsi encore la fluente de ix'x sera xx, et conséquemment celle de xx sera

— ; celle de x*x sera— , &c. ; d’où l’on conclurra que celle de x” x sera-,

1 3 m-p-i

Et cela sera vrai, quelle que soit la valeur de m , entière ou fractionnaire f

positive ou négative. Ainsi x^sx, c’est-à-dire a~ x~ x, aura pour fluente

Ua~x-), c’est-à-dire j-xf/ax-, ce qui donne la quadrature de la parabole or-dinaire.

Tout ce que nous venons de dire est également applicable aux quantitéscomplexes, comme seioit (aa-f-xx)’ 1 ; sa fluxion seroit 2 nxx ( a<z-\-xx J"- 1 ,

Et si nous supposons n — i, c’est-à-dire ( aa-ì-xx^—J/aa-j-x x, on aura

pour sa fluxion - ’> et v *“ «rrá la fluente de cette quantité seta ( aa-\-xx f-

Tout cela, au surplus, quoique déduit ici par simple induction, peut se démontresrigoureusement par de simples subMutions.