45o histoire

que si la terre étoit percée d’outre en outre d’une cavité quipermît à un corps cTaUer jusqu’au centre, de quelque point audessous de la surface qu’on le laissât tomber, il arriveroit à cecentre dans le même temps.

Nous venons eníin au problème direct des trajectoires , laloi de la force centrale étant donnée. Pour le résoudre, Neutoncommence par démontrer une proposition préliminaire quevoici (fîg. 122). Si un corps est projetté du point S, avecune certaine vitesse dans la direction S R, et que par factiond’une force centrale , qui l’attire vers C, il décrive la courbeS FI, en traçant du centre C Parc F P , la vitesse du corpsen F , le long de la courbe, sera la même que celle qu’il auroiteue en arrivant en P , par une chute directe du point S , pourvuque cette chute ait commencé avec une vitesse égale à celle dela projection.

Comme nous sommes obligés de considérer ici la courbe SFI,rapportée à des ordonnées convergentes au point C , il fautdécrire de ce point par S un arc de cercle sur lequel on pren-dra les abscisses S H $ et on aura la nature de la courbe , sil’on peut trouver une équation , soit finie , soit différentielleentre Parc SH et CF ; car il est évident que cette équationétant donnée et construite, à chaque point H on pourra assignerle point F qui lui répond, et par conséquent on aura la tra-jectoire SFI.

Pour trouver ce rapport , nous nous servirons des considé-rations suivantes. En supposant le rayon C h infiniment prochede C H , de sorte que H À, F f soient des arcs infiniment petits,le rapport de C H à CF sera celui de HA à gF ; et le petittriangle «-CF exprimera le temps pendant lequel / F sera par-couru. D’un autre côté , la loi de la force centrale étant donnée,on aura Paire de la courbe SPEB , et par conséquent la vitesseen P ou en F. Finalement l’espace est en raison composée dela vitesse et du temps ; par conséquent on aura une égalitéqui , traduite en expression analytique , donnera Péquationentre H À et fg^ ou S H et C F. Nous avons cru devoir déve-lopper Panalyse de ce problème dans une note particulière, D.

On peut maintenant former telle hypothèse que l’on voudrasur la loi de la force centrale. La quantité indéterminée F, quidoit exprimer sa relation avec y , se prête à toutes ces diffé-rentes hypothèses. Si on suppose la force en raison inverse du

quarré de la distance, alors F sera exprimée par^, ou — , en

exprimant par g cette force à la distance a. Ainsi_ j F dy ,

sera— ou ~ > et équation se réduira à celle-ci,

: y |/ (zBy'-Fzaa gy —Cela signifie que si