DES MATHÉMATIQUES.. Part. IV. Liv. VII. 46-cherche, que S en est le sommet, ou le point le plus bas ; SE,l’axe 5 EC, ec , deux ordonnées infiniment proches. II est cer-tain , et l’on peut facilement le démontrer par les lois de la Sta-tique , que si aux points S et C on conçoit deux puissancesretenant la portion de chaînette S C dans sa position , elleséprouveront chacune un effort dans la direction des tangentesS H , CH, et que chacune soutiendra la même partie du poidsabsolu de cette portion , que si ce poids étoit réuni en H ,concours de ces tangentes. l)’un autre côté , la puissance placéeen S sera toujours la même , quelle que soit la place du pointC, où l’autre est appliquée ; car quelle que soit la longueur dela portion SC , l’autre SA ne change ni de ligure, ni de po-sition , comme il est aisé de s’en convaincre par Inexpérience jct par conséquent son point extrême S , ou la puissance quenous y supposons, éprouve constamment la même traction dansla direction S H. Mais la Statique nous apprend que quanddeux puissances soutiennent de cette sorte un poids H, ce poidsest à l’effort de l une des deux , par exemple S , comme lesinus de l’angle des directions SHC , ou DHC, au sinus del’angle HCD, formé par la direction de l’autre puissance avecla verticale, c’est-à-dire , comme C D à DH , ou c f à C flAinsi, nommant a la puissance constante en S : z, la courbe S C,ou le poids H ; S £ et E C, x et y , et leurs différences res-pectives dx , dy , on aura z : a : ; dx : dy , ou zdy=adx ,pour l’équation différentielle de la courbe , équation qui, traitéeavec adresse, se réduira à celle-ci , dy =zaâx : j/ ( xx—a à)*Ayant donc pris l’indéterminée SE = x, et construisant l'inté-grale de adx :~y (x x—a t z), on aura l’ordonnée correspon-dante EC, ou j. Mais cette intégrale dépend de la dimensiond’une courbe dont les ordonnées sont données , ou bien de celled’un secteur hyperbolique : on peut aussi la représenter par lalongueur d’un arc parabolique, ou enfin par le logarithme d’unequantité variable qu’il est facile d’assigner ; car toutes ces chosesdépendent de la quadrature de l’hyperbole. Ce sont là les diffé-rentes manières dont s’y prirent pour construire cette courbe,MM. Huygens , Leibnite et Bernoulli.

La chaînette est, comme l’on volt, une courbe mécaniqueou transcendante , puisque sa construction suppose la quadra-ture de l’hyperbole. Mais elle a d’ailleurs diverses propriétésîout-à-fait remarquables , qu’observèrent les illustres auteurs dessolutions dont on a parlé. Voici quelques-unes de ces propriétés.1. Ea chaînette est absolument rectifiable y Tare S C est toujoursegal à l’ordonnée correspondante E F de l’hyperbole équiiatèredont le sommet est en S , et le centre sur l’axe prolongé à ladistance 8 V, égale à la quantité déterminée ~ a de l’analyse