166 HISTOIRE

affectés du signe -t-, dans l’un desquels une variable sera multipliéepar la différence de l’autre , et dans l'autre vice versâ , on eneonclurra que l’intégrale est leur produit.

La fraction - ~ a étant différentiée, prend cette forme

ydx —- xdy , , . ,

— yy — = 0 » et consequernment, en multipliant par yy , ce qui

ne change rien àl’équation, on a tout simplement ydx — xdy=. o.Lors donc qu’on aura une sonne semblable , il sera probableque la différentielle viendra d une fraction ; et dans une formecomme la dernière , suppléant le dénominateur yy , on aura

* = à une constante que la nature du problème détermine or-dinairement. 11 y a même toujours dans cette forme de diffé-rentielle un multiplicateur qui la rend intcgrable. Car si l’on a2 ,ydx — xdy.. ou ydx — -yxdy, ou en général mydx — xdy — O,en la multipliant par x m ~ l , ou aura la différentiellemyx m ~' dx —- x m dy — o ; où suppléant encore le dénominateur

y y , on aura l’intégrale une constante ; car différentiant,

on trouve ^. x —H x - . xm . dy .—- = o; ce qui, divisé par x m et mul-

tiplié par y y , donne enlin mydx — dy , ou mxdx — — ; par

conséquent = log. y ± c , où c est une constante à déter-miner suivant les conditions du problème.

Ainsi, pour en donner encore quelques exemples , ayant la dif-férentielle on aura son intégrale égale au logarithme

hyperbolique de x-hy j car supposant x -hy = z, on auroitla précédente différentielle égale à à, que nous avons vu dans

l’article précédent être celle du logarithme de z. Cette subs-titution est , dans bien des cas plus difficiles que les precédens ,un fil secourable pour simplifier des différentielles compliquées,qui par là se réduisent à des formes simples , dont 1 intégration,se présente au premier coup d’œil. Si l’on avoit, par exemple ,

cette différentielle d * + "~ d+ » ) jr~-' <r DOur

l’intégrer,on tenteroit de la simplifier,en supposant x m y n — y m+n —z;et cela réussirent , car on trouveroit, en différentiant cette ex-pression , tout le numérateur de la différentielle proposée , égal

àí/z, et conséquemment cette différentielle égale à ^ , dont

l’intégrale est logarithme de z j et conséquemment, si l’on remetau lieu de z sa valeur , on aura pour l’intégrale cherchée,