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d’abord selon x , et ensuite selon y , et cette différence étantdivisée par le coéfíicient de dx , il en résulte la différentielleproposée. Mais cette équation a pu elle-même provenir de celle-ci M dx -f- AM dy = o (M étant une fonction de x et y, d’undegré quelconque); car on a pu diviser tout par M : ce quiaugmente la difficulté. M. Fontaine la résoud néanmoins , aumoyen d’un théorème nouveau sur les différentielles des fonctions.11 parcourt ensuite toutes les formes de différentielles à plusieursvariables qui peuvent être ainsi exprimées : dx-h Ady ■+■ Bdz = o.dx -t- A dy -t- B dz -+- Cdu = o. A , B et C étant des fonctionsde dimension nulle de x, y, z , ou de x, y, z, u, & c. De-là , il passe à l’examen et à la résolution des équations diffé-rentielles du second, troisième et même quatrième degré; maisnous ne pouvons le suivre ici, à travers les épines dont saroute est semée : il nous suffira de dire que M. Nicole ayantdonné , en iy3 7 , à l’académie des sciences un mémoire surVusage des suites pour la solution de certains problèmes ,qu il jugeoit impossible sans cela de résoudre directement, àcause de la complication des variables, Fontaine y appliquantsa méthode, les résolut directement.

La seconde méthode de Fontaine , plus savante encorect plus épineuse que la précédente , n’est susceptible que d’êtrelégèrement indiquée ici. Elle procède par une sorte de marcherétrograde , au moyen de laquelle prenant des intégrales for-mées de la manière la plus générale possible, il remonte auxdifférentielles qui peuvent en résulter , en sorte qu'étant donnéeune différentielle quelconque, on peut, au moyen des opéra-tions qu’il indique , reconnoître l’intégrale d’où elle provient.Cette méthode a de l’analogie avec celle qu’il a donnée pourla résolution générale des équations de tous les degrés, et lesmêmes inconvéniens ; savoir des longueurs de calcul plus querebutantes. Cette méthode, au reste, lui fit apercevoir un grandnombre de vérités importantes de cette théorie ; savoir qu’uneéquation différentielle du premier ordre n’a qu’une intégralefinie ; mais] une équation différentielle du second ordre, ou auxsecondes différences, a deux intégrales du premier degré ;une équation du troisième ; trois intégrales du second. II re-connut aussi que pour chaque intégrale d’une équation auxpremières différences, il n’y en a qu’une aux secondes diffé-rences dont elle soit l’intégrale ; que pour l’intégrale d’une équa-tion aux secondes différences, il n’y a qu’une seule équationaux troisièmes dont elle soit l’intégrale, &c. Enfin, que la der-nière intégrale, c’est-à-dire l’intégrale finie d’une différentielled’un ordre quelconque est toujours unique.

Comment se fait-il néanmoins qu’une méthode qui paroîtne

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