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donc une différentielle de jz d’un degré n comme d* z , sa pre-mière intégrale doit être représentée par d n ~ l z = adx n ~', cellede celle-ci par d n ~~z = axdx n ~°- -+- bdx n ~ l , la. suivante pard"~^z — ax 2 dx n ~^ H- bdx n ~* -+- cdx n ~ 7 , et enfin la dernière, en

supposant n = 4 sera z -h h -^- C x -+- J'j car = d°jz

— L. — ax*dx n+ ì = ax^dx , dont l’intégrale est «a; 3 , et ainsi dureste. La constante finale / sera la somme de toutes les cons-tantes qu’il eût fallu ajouter à chaque intégration.

On n’aura donc l’intégrale complète d’une équation diffé-rentielle du degré «, qu’autant que, dans cette intégrale, il yaura un nombre n d’indéterminées, indépendantes les unes desautres, et il y aura par conséquent autant de différentes solu-tions que l’on pourra former de suppositions arbitraires desvaleurs de ces indéterminées ; mais dans les cas particuliers ellesse détermineront par les conditions du problème, comme celase fait à l’égard de la constante unique qui entre dans l’inté-gration d’une différentielle du premier ordre. Si le nombre deces conditions est moindre que celui des constantes à déterminer,il en résultera une grande latitude dans la solution du problème ;car alors il y en aura autant que l’on pourra faire de suppositionsarbitraires de la constante ou des constantes qui resteront in-déterminées; ce n’est pas, au surplus, une affaire facile que deparvenir à l’intégrale complète d’une différentielle donnée ,quoiqu’on puisse quelquefois en trouver quelque intégrale parti-culière : aussi est-ce un sujet qui a beaucoup occupé Euler dansaes Institutiojies calcuLi integralis , et les analystes qui l’ontsuivi.

On vient de voir ce qu’on appelle l’intégrale complète etgénérale d’un équation ou fonction différentielle d’un ordrequelconque : on nomme intégrales particulières celles qui ré-sultent de la détermination des constantes indéterminées qu’ona vu devoir entrer dans la composition de l’intégrale complète.

Mais il arrive quelquefois et même souvent que dans une équa-tion à deux variables, il y a entre ces variables telle relation dontîa supposition les fait satisfaire à l’équation ; doit-on regardercette solution comme une intégrale particulière dans le sensqu’on lui a donné ci-dessus? non: c’est, si l’on veut, une solution,mais on ne doit pas la regarder comme une intégrale particulière,puisqu’elle n’est pas comprise dans l’intégrale complète. Donnons-en un exemple.

Dans cette équation différentielle * dx + yJy — dy > la

supposition de — m? — xx 7 satisfait à l’équation. On nepeut cependant pas dire qu’on ait trouvé par-là l’intégrale